(a) Determine o equivalente de Norton do circuito visto a partir dos dois terminais abertos. (b) Calcule a potência dissipada em um resistor de 5 \Omega ligado em paralelo com a resistor existente de 5 \Omega. (c) Calcule a corrente que circula através de um curto-circuito que liga os dois terminais.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o equivalente de Norton visto a partir dos dois terminais superiores (os dois pontos abertos mostrados na figura).
  • (b) Calcular a potência dissipada em um resistor de 5\:\Omega ligado em paralelo com o resistor já existente de 5\:\Omega (ou seja, colocar outro 5\:\Omega entre os mesmos terminais e achar a potência nele).
  • (c) Calcular a corrente que circula através de um curto-circuito que liga os dois terminais.
Dados do circuito (peguei estes valores diretamente da imagem fornecida):
  • Há uma fonte de tensão de 2\:\text{V} à esquerda cuja polaridade na figura mostra o terminal superior como negativo e o inferior como positivo. Tomarei o nó inferior como referência 0\:\text{V} (terra), então o nó da fonte esquerda (onde a resistência 2\:\Omega se conecta) vale V_{\text{esq}}=-2\:\text{V}.
  • Uma resistência 2\:\Omega conecta V_{\text{esq}} ao terminal esquerdo (chamarei esse nó de a).
  • Um gerador de corrente de 2\:\text{A} aponta de baixo para cima, injetando 2\:\text{A} no nó a a partir do terra.
  • Entre os nós a e b existe uma resistência 5\:\Omega. Na figura o v_x está marcado com + à esquerda e - à direita, então v_x=V_a-V_b.
  • O nó direito (chamado b) liga a um resistor de 1\:\Omega ao terra e a um resistor de 3\:\Omega que por sua vez vai à fonte de 4\:\text{V} (na figura a fonte direita tem o terminal superior positivo, então esse nó após o 3\:\Omega vale +4\:\text{V}). Vou chamar o nó depois do 3\:\Omega de V_{\text{dir}}=4\:\text{V}.
  • Os terminais pedem o equivalente visto entre os nós superiores a e b (os dois círculos abertos na figura).
Observação: já identifiquei explicitamente na figura as polaridades das fontes e os valores dos resistores acima, usei o nó inferior como referência 0\:\text{V}.

Passo 2

Determinar a tensão de circuito aberto [v_x = V_a - V_b) (que é o mesmo que a tensão de Thevenin V_{th}). Vou usar análise nodal porque é direta quando há fontes de tensão conhecidas em nós externos e um gerador de corrente.
Definições:
  • V_a = potencial do nó esquerdo (terminal a).
  • V_b = potencial do nó direito (terminal b).
  • V_{\text{esq}}=-2\:\text{V} (nó fixo pela fonte esquerda).
  • V_{\text{dir}}=4\:\text{V} (nó fixo pela fonte direita).
  • Corrente do gerador: 2\:\text{A} entrando no nó a.
KCL no nó a (somando correntes que saem do nó e igualando à corrente injetada):
  • Corrente pela 2\:\Omega até o nó esquerdo: \dfrac{V_a - V_{\text{esq}}}{2}.
  • Corrente pela 5\:\Omega até b: \dfrac{V_a - V_b}{5}.
  • A corrente injetada pelo gerador é +2\:\text{A} (entrando no nó), então a equação fica
\frac{V_a - V_{\text{esq}}}{2} + \frac{V_a - V_b}{5} = 2.
Substituindo V_{\text{esq}}=-2\:\text{V}:
\frac{V_a + 2}{2} + \frac{V_a - V_b}{5} = 2.
Multiplicando por 10:
5(V_a+2) + 2(V_a - V_b) = 20 \quad\Longrightarrow\quad 7V_a - 2V_b = 10. \tag{1}
KCL no nó b:
  • Corrente pela 5\:\Omega: \dfrac{V_b - V_a}{5}.
  • Corrente pela 1\:\Omega para o terra: \dfrac{V_b - 0}{1}=V_b.
  • Corrente pelo 3\:\Omega ao nó V_{\text{dir}}=4\:\text{V}: \dfrac{V_b - 4}{3}.
    A soma das correntes deve ser zero (nenhuma fonte de corrente neste nó):
\frac{V_b - V_a}{5} + V_b + \frac{V_b - 4}{3} = 0.
Multiplicando por 15:
3(V_b - V_a) + 15V_b + 5(V_b - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3V_a + 23V_b = 20. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema (1) e (2):
\begin{cases} 7V_a - 2V_b = 10,\\[4pt] -3V_a + 23V_b = 20. \end{cases}
Multiplicando (1) por 3\] e (2) por \(7 e somando elimina V_a:
21V_a -6V_b = 30\\\\ -21V_a +161V_b = 140
Somando: 155V_b = 170 então
V_b = \frac{170}{155} = \frac{34}{31}\\ \text{V}.
Substituindo em (1):
7V_a - 2\cdot\frac{34}{31} = 10 \quad\Longrightarrow\quad 7V_a = 10 + \frac{68}{31} = \frac{378}{31},
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V_a = \frac{378}{217}.
A tensão de circuito aberto (Thevenin) é
v_x = V_a - V_b = \frac{378}{217} - \frac{34}{31}.
Colocando sobre o mesmo denominador 217 (pois 31\cdot7=217):
\frac{378}{217} - \frac{238}{217} = \frac{140}{217} = \frac{20}{31}\\ \text{V}.
Portanto
V_{th}=v_x=\frac{20}{31}\\ \text{V}\approx 0{,}64516\\ \text{V}.
Pequena explicação didática: a análise nodal usa a Lei das Correntes de Kirchhoff (a soma algébrica das correntes num nó é zero). Em cada ramo a corrente é a diferença de potenciais dividida pela resistência (Lei de Ohm). Aqui aplicámos isso sistematicamente para obter duas equações lineares e resolver.]

Passo 3

Determinar a resistência de Norton [R_N) (que é igual a R_{th}). Vou usar o método padrão de “desligar fontes independentes” (desativar fontes) e calcular a resistência equivalente vista entre os terminais.
Regras para desativar fontes independentes:
  • Fonte de tensão ideal \Rightarrow substitui por curto.
  • Fonte de corrente ideal \Rightarrow substitui por circuito aberto.
Aplicando isso ao circuito:
  • A fonte de 2\:\text{V} fica em curto, ligando o nó esquerdo ao terra.
  • A fonte de 4\:\text{V} fica em curto, ligando o nó direito (após o 3\:\Omega) ao terra.
  • O gerador de corrente de 2\:\text{A} é aberto (retirado).
O circuito resistivo resultante visto entre a e b é:
  • 2\:\Omega entre a e terra,
  • 5\:\Omega entre a e b,
  • e entre b e terra há em paralelo 1\:\Omega e 3\:\Omega (pois ambos vão ao terra).
Calculamos R_{b,\text{para terra}} = 1\:\Omega \parallel 3\:\Omega = \dfrac{1\cdot 3}{1+3} = \dfrac{3}{4}\:\Omega = 0{,}75\:\Omega.
Para obter R_{ab} (a resistência entre a e b), uso uma fonte de teste de 1\:\text{A} injetada de a para b e calculo a tensão resultante V_{ab}. O R equivalente será R_{ab}=V_{ab}/1.
Escrevo as equações nodais com a fonte de teste (corrente 1\:\text{A} entrando em a e saindo de b):
No nó a:
\frac{V_a}{2} + \frac{V_a - V_b}{5} = 1.
(No lado esquerdo está aterrado por curto: resistência 2\:\Omega até terra.)
No nó b:
\frac{V_b}{0{,}75} + \frac{V_b - V_a}{5} = -1
(a injeção em b é -1\:\text{A} pois a corrente de teste sai de b). Note que \dfrac{1}{0{,}75}=\dfrac{4}{3}.
Multiplicando e rearranjando obtemos o sistema:
\begin{cases} 7V_a - 2V_b = 10,\\[4pt] -3V_a + 23V_b = -15. \end{cases}
Resolvendo (igual procedimento algébrico do passo anterior) achamos
V_b = -\frac{15}{31},\qquad V_a = \frac{280}{217}.
A diferença V_a - V_b\] é \[V_{ab} = \frac{280}{217} - \left(-\frac{15}{31}\right) = \frac{385}{217}.\] Portanto, com \(1\:\text{A} de teste,
R_{th} = R_N = V_{ab}/1 = \frac{385}{217} = \frac{55}{31}\\ \Omega \approx 1{,}77419\\ \Omega.
Observação didática: desativar fontes deixa um circuito puramente resistivo. Para duas conexões com resistores a terra e um resistor entre nós, a forma prática para achar R_{ab} é aplicar uma corrente de teste e resolver nodal — é método robusto e rápido para problemas pequenos.]

Passo 4

Calcular a corrente de curto-circuito I_{sc} que circula quando ligamos diretamente os terminais (ou seja, curtar a com b).
Método direto (usar Thevenin/Norton já encontrados é a forma mais simples):
  • Sabemos V_{th}=\dfrac{20}{31}\:\text{V} e R_{th}=\dfrac{55}{31}\:\Omega.
  • Quando os terminais são curto-circuitados, a corrente de curto é
I_{sc} = \frac{V_{th}}{R_{th}} = \frac{\frac{20}{31}}{\frac{55}{31}} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}\\ \text{A}.
Direção (observação de sinal): como v_x=V_a-V_b aberto era positivo ( \frac{20}{31}\:\text{V}), o terminal esquerdo a estava a potencial maior que o direito b. Assim a corrente de curto flui do terminal esquerdo para o direito. Portanto I_{sc}=\dfrac{4}{11}\:\text{A} do nó a para o nó b.
(Verificação direta: se curtirmos a e b e aplicarmos KCL no nó unido obtemos V_{\text{curto}}=\dfrac{14}{11}\:\text{V} e as correntes se equilibram, levando ao mesmo valor de corrente de curto 4/11\:\text{A} em consistência com o resultado anterior.)

Passo 5

Calcular a potência dissipada no resistor externo 5\:\Omega que ligamos em paralelo ao resistor interno de 5\:\Omega.
Explicação do circuito equivalente para esse cálculo:
  • O circuito visto pelos terminais é o Thevenin equivalente: V_{th}=\dfrac{20}{31}\:\text{V} em série com R_{th}=\dfrac{55}{31}\:\Omega.
  • Ligando um resistor externo R_L=5\:\Omega aos terminais, a tensão nos terminais (ou sobre R_L) será
V_L = V_{th}\cdot\frac{R_L}{R_{th}+R_L}.
Cálculo:
R_{th}+R_L = \frac{55}{31} + 5 = \frac{55 + 155}{31} = \frac{210}{31}.
Então
\frac{R_L}{R_{th}+R_L} = \frac{5}{210/31} = \frac{5\cdot 31}{210} = \frac{31}{42}.
Logo
V_L = \frac{20}{31}\cdot\frac{31}{42} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}\\ \text{V}.
A potência dissipada no resistor externo 5\:\Omega é
P = \frac{V_L^2}{R_L} = \frac{\left(\frac{10}{21}\right)^2}{5} = \frac{100}{441}\cdot\frac{1}{5} = \frac{100}{2205} = \frac{20}{441}\\ \text{W}.
Em decimal isso é aproximadamente
P \approx 0{,}04535\\ \text{W}.
Didática curta: usamos Thevenin porque facilita encontrar a tensão aplicada ao resistor externo sem reanalisar todo o circuito; em seguida a potência é V^2/R sobre esse resistor.

Resposta

(a) Norton: I_N=\dfrac{4}{11}\\ \text{A} (do terminal esquerdo para o direito) em paralelo com R_N=\dfrac{55}{31}\\ \Omega.
(b) Potência no resistor externo 5\:\Omega: P=\dfrac{20}{441}\\ \text{W}\approx 0{,}04535\\ \text{W}.
(c) Corrente de curto-circuito entre os terminais: I_{sc}=\dfrac{4}{11}\\ \text{A} (do terminal esquerdo para o direito).

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