Usando resíduos calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo é Análise Complexa (integração pelo contorno semicircular no semiplano superior). Vamos estender a função
ao plano complexo, escolher um semicírculo no semiplano
e somar as contribuições dos polos no semiplano superior.
Passo 2
Determinamos os polos de
pela fatoração do denominador:
No semiplano
restam os polos simples
Pela decaída
em
, o contorno grande não contribui, e
Passo 3
Calculamos como pólo simples em
:
Aqui
e
, logo
Passo 4
Para o polo simples
usamos
Calculamos
e
. Assim
Passo 5
Somando as duas contribuições:
Pelo Teorema dos Resíduos,