Usando resíduos calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede que calculemos
usando resíduos em análise complexa.
Passo 2
Para isso, vamos usar a função
e integrar num contorno que vai de
a
na reta real mais o semicírculo no semiplano superior. Definimos
e lembramos que a parte imaginária de
nos dá a integral com
; de fato,
Passo 3
Como para
vale
que decai exponencialmente, o lema de Jordan garante que a integral no arco some quando
. Assim aplicamos o Teorema dos Resíduos para obter
Passo 4
Os polos são dados por
, ou seja
, e apenas
fica no semiplano superior. Como é um polo simples,
Passo 5
Logo
e portanto