Usando resíduos calcule as seguintes integrais
integral0^infty x sin 2 xx^2+3 d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos integral0^inftyxsin(2x)x^2+3,dx usando resíduos em análise complexa.

Passo 2

Para isso, vamos usar a função
f(z)=z,e^i2zz^2+3
e integrar num contorno que vai de -R a R na reta real mais o semicírculo no semiplano superior. Definimos
I = integral-infty^inftyx,e^i2xx^2+3,dx
e lembramos que a parte imaginária de I nos dá a integral com sin; de fato,
integral0^inftyxsin(2x)x^2+3,dx = 12Im(I)

Passo 3

Como para vale que decai exponencialmente, o lema de Jordan garante que a integral no arco some quando . Assim aplicamos o Teorema dos Resíduos para obter

Passo 4

Os polos são dados por , ou seja , e apenas fica no semiplano superior. Como é um polo simples,

Passo 5

Logo
I = 2pi icdote^-2raiz32 =pi i,e^-2raiz3
e portanto
integral0^inftyxsin(2x)x^2+3,dx =12Im(I) =pi2e^-2raiz3

Resposta

pi2e^-2raiz3

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