Usando o resultado anterior, encontre as transformadas de Laplace:
(a) \mathcal{L}\left\{t e^{3 t}\right\};
(b) \mathcal{L}\{\boldsymbol{t} \sin \boldsymbol{k t}\};
(c) \mathcal{L}\left\{t^{2} \sin k t\right\};
(d) \mathcal{L}\left\{t e^{-t} \cos t\right\};

Passo 1

O enunciado pede as transformadas de Laplace de quatro funções: (a) t e^{3t}, (b) t\sin kt, (c) t^2\sin kt e (d) t e^{-t}\cos t. O conteúdo envolvido é a propriedade que relaciona multiplicação por t^n com derivação em s na transformada.

Passo 2

Vamos relembrar a propriedade de derivação em s:
\mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
As transformadas básicas que usaremos são
\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}, \quad \mathcal{L}\{\sin kt\} = \frac{k}{s^2 + k^2}, \quad \mathcal{L}\{\cos kt\} = \frac{s}{s^2 + k^2}.

Passo 3

Para (a), f(t)=e^{3t} tem
F(s)=\frac{1}{s-3}.
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\mathcal{L}\{t e^{3t}\} = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{1}{s-3}\Bigr) = \frac{1}{(s-3)^2}.

Passo 4

Para (b), f(t)=\sin kt tem
F(s)=\frac{k}{s^2 + k^2}.
Aplicando n=1:
\mathcal{L}\{t\sin kt\} = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{k}{s^2 + k^2}\Bigr) = \frac{2\,k\,s}{(s^2 + k^2)^2}.

Passo 5

Para (c), ainda com f(t)=\sin kt e n=2:
\mathcal{L}\{t^2\sin kt\} = \frac{d^2}{ds^2}\Bigl(\frac{k}{s^2 + k^2}\Bigr) = \frac{2\,k\,(3s^2 - k^2)}{(s^2 + k^2)^3}.

Passo 6

Para (d), f(t)=e^{-t}\cos t tem
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1}.
Aplicando n=1:
\mathcal{L}\{t\,e^{-t}\cos t\} = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s+1}{(s+1)^2 + 1}\Bigr) = \frac{(s+1)^2 - 1}{\bigl((s+1)^2 + 1\bigr)^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{(s-3)^2}
(b) \displaystyle \frac{2\,k\,s}{(s^2 + k^2)^2}
(c) \displaystyle \frac{2\,k\,(3s^2 - k^2)}{(s^2 + k^2)^3}
(d) \displaystyle \frac{(s+1)^2 - 1}{\bigl((s+1)^2 + 1\bigr)^2}

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