Achar a solução do problema de valor inicial proposto, mediante as transformadas de Laplace.
(e)
e
(e)
Passo 1
O enunciado pede a solução de valor inicial da equação
com condições
e
, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
.
,
.
,
.
,
. Teorema do deslocamento:
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
,
, obtemos
Passo 3
Isolando
:
logo
Passo 4
Fazemos a fração parcial
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes obtemos
,
,
. Logo
As transformadas inversas conhecidas são
Portanto
Passo 5
Usando o teorema do deslocamento, cada termo de
gera:
- Primeiro e último termos com :
- Primeiro e último termos com
- Termo do meio com
:
Somando tudo, a solução no tempo é