Achar a solução do problema de valor inicial proposto, mediante as transformadas de Laplace.
(e) \boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{\pi} / \mathbf{2}}(\boldsymbol{t})+\boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{t}-\boldsymbol{\pi})-\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{3} \boldsymbol{\pi} / \mathbf{2}}(\boldsymbol{t}) ; \quad \boldsymbol{y}(\mathbf{0})=\mathbf{0} \quad e \quad \boldsymbol{y}^{\prime}(\mathbf{0})=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado pede a solução de valor inicial da equação
y'' + y = u_{\pi/2}(t) + \delta(t-\pi) - u_{3\pi/2}(t),
com condições y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
1. \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
2. \mathcal{L}\{u_a(t)\} = \frac{e^{-a s}}{s},
3. \mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-a s},
4. Teorema do deslocamento:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\} = f(t-a)\,u(t-a).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s) + Y(s) = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s} \;+\; e^{-\pi s} \;-\;\frac{e^{-\frac{3\pi}{2}s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)\,(s^2+1) = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s} + e^{-\pi s} - \frac{e^{-\frac{3\pi}{2}s}}{s},
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Y(s) = \frac{1}{s(s^2+1)}\,e^{-\frac{\pi}{2}s} \;+\;\frac{1}{s^2+1}\,e^{-\pi s} \;-\;\frac{1}{s(s^2+1)}\,e^{-\frac{3\pi}{2}s}.

Passo 4

Fazemos a fração parcial
\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2+1}.
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes obtemos A=1, B=-1, C=0. Logo
\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1}.
As transformadas inversas conhecidas são
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} = 1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+1}\Bigr\} = \cos t.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s(s^2+1)}\Bigr\} = 1 - \cos t.

Passo 5

Usando o teorema do deslocamento, cada termo de Y(s) gera:
- Primeiro e último termos com 1/[s(s^2+1)]:
(1-\cos(t-\tfrac{\pi}{2}))\,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad -(1-\cos(t-\tfrac{3\pi}{2}))\,u\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
- Termo do meio com 1/(s^2+1):
\sin(t-\pi)\,u(t-\pi).
Somando tudo, a solução no tempo é
y(t) = \bigl(1 - \cos(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;+\;\sin(t-\pi)\,u(t-\pi) \;-\;\bigl(1 - \cos(t-\tfrac{3\pi}{2})\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Resposta

y(t) = \bigl(1 - \cos(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;+\;\sin(t-\pi)\,u(t-\pi) \;-\;\bigl(1 - \cos(t-\tfrac{3\pi}{2})\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

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