Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determine os valores de
e
associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Dica: Calcule explicitamente
e
.
Dica: Calcule explicitamente
Passo 1
O enunciado pede para achar os números quânticos ℓ e mₗ do harmônico esférico
usando os operadores:
usando os operadores:
Conteúdo: teoria de momento angular em coordenadas esféricas. Vamos precisar lembrar que
e
.
Passo 2
Aplicar
em
:
Como
não depende de
,
. Logo
Passo 3
Aplicar
em
. Primeiro calculemos as derivadas em
:
Agora cada termo do operador:
(1) .
(2) .
(3) (sem
).
Somando dentro de :
(1)
(2)
(3)
Somando dentro de
Mas sabemos que
. Dá então
, cuja solução inteira não negativa é
.