Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
ellz=hbari partialpartial phi, ell^2=-hbar^2(cos thetasin theta partialpartial theta+partial^2partial theta^2+1sin ^2 theta partial^2partial phi^2)
Determine os valores de ell e mell associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Yell, mell=raiz34 pi cos theta
Dica: Calcule explicitamente ellz Yell, mell e ell^2 Yell, mell.

Passo 1

O enunciado pede para achar os números quânticos ℓ e mₗ do harmônico esférico
hat Lz=hbaripartialpartialphi, hat L^2=-hbar^2l(costhetasinthetapartialpartialtheta +partial^2partialtheta^2 +1sin^2thetapartial^2partialphi^2r)
usando os operadores:
Conteúdo: teoria de momento angular em coordenadas esféricas. Vamos precisar lembrar que
e .

Passo 2

Aplicar hat LzY=hbaripartialpartialphil(raiztfrac34picosthetar) em hat LzY=0=mhbar,Y Longrightarrow m=0 :
Como não depende de , . Logo

Passo 3

Aplicar partial Ypartialtheta =partialpartialthetal(raiztfrac34picosthetar) =-raiztfrac34pisintheta, em partial^2Ypartialtheta^2 =partialpartialthetal(-raiztfrac34pisinthetar) =-raiztfrac34picostheta . Primeiro calculemos as derivadas em hat L^2Y =-hbar^2l[-raiztfrac34picostheta -raiztfrac34picosthetar] =-hbar^2l[-2raiztfrac34picosthetar] =2hbar^2,Y :
Agora cada termo do operador:
(1) .
(2) .
(3) (sem ).
Somando dentro de :
Mas sabemos que . Dá então
, cuja solução inteira não negativa é .

Resposta

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