Usando a separação em CM e movimento relativo, determine o período correspondente para o caso em que m2 não está fixa e as massas circundam uma a outra a uma distância constante de separação r. Discuta o limite desse resultado se m2 infty.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o período de um sistema de duas massas e que giram uma em torno da outra mantendo distância fixa . A ideia é usar a separação entre o centro de massa (CM) e a coordenada relativa — ou seja, transformar o problema de duas partículas num problema equivalente de uma partícula “reduzida” girando num potencial gravitacional. Para isso vamos precisar de:
  1. Definir o centro de massa e a massa reduzida .
  2. Aplicar a 2ª Lei de Newton (força centrípeta = força gravitacional).
  3. Extrair a frequência angular e daí o período .

Passo 2

Primeiro a teoria de CM e massa reduzida:
  • O centro de massa está em
vec RCM = m1vec r1 + m2vec r2m1+m2
  • A coordenada relativa é mu = m1,m2m1+m2 .
    Nessa descrição, o movimento se separa em um movimento de FG = G,m1,m2r^2 (que, sem forças externas, fica parado) e um movimento de mu,omega^2,r ;=; G,m1,m2r^2 como se fosse uma partícula de massa reduzida
girando em torno de um “centro” com massa total .
Agora, para órbita circular a distância , a única força é a gravitação:
Essa força fornece a força centrípeta para a massa reduzida :

Passo 3

Da igualdade acima a gente isola omega^2 = G,m1,m2mu,r^3 :
omega^2 = G,(m1+m2)r^3
Mas, lembrando que T = 2pi,raizr^3G,(m1+m2) , rola simplificar:
Como o período é , vem

Passo 4

Pra discutir o limite T approx 2piraizr^3G,m2 :
  • Se cresce muito, .
  • Então
E, mandando com fixo, esse tende a zero.
Fisicamente isso significa que, quanto mais massivo estiver o “centro”, mais rápida fica a órbita de a dado raio.

Resposta

boxedT ;=; 2pi,raizr^3G,(m1+m2)e, para m2toinfty,;Tto 0

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