Usando a separação em CM e movimento relativo, determine o período correspondente para o caso em que
não está fixa e as massas circundam uma a outra a uma distância constante de separação
. Discuta o limite desse resultado se
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o período de um sistema de duas massas
e
que giram uma em torno da outra mantendo distância fixa
. A ideia é usar a separação entre o centro de massa (CM) e a coordenada relativa — ou seja, transformar o problema de duas partículas num problema equivalente de uma partícula “reduzida” girando num potencial gravitacional. Para isso vamos precisar de:
- Definir o centro de massa e a massa reduzida
. - Aplicar a 2ª Lei de Newton (força centrípeta = força gravitacional).
- Extrair a frequência angular
e daí o período .
Passo 2
Primeiro a teoria de CM e massa reduzida:
- O centro de massa está em
- A coordenada relativa é
.
Nessa descrição, o movimento se separa em um movimento de(que, sem forças externas, fica parado) e um movimento de como se fosse uma partícula de massa reduzida
girando em torno de um “centro” com massa total
.
Agora, para órbita circular a distância
, a única força é a gravitação:
Essa força fornece a força centrípeta para a massa reduzida
:
Passo 3
Da igualdade acima a gente isola
:
Mas, lembrando que
, rola simplificar:
Como o período
é
, vem
Passo 4
Pra discutir o limite
:
- Se
cresce muito, . - Então
E, mandando
com
fixo, esse
tende a zero.
Fisicamente isso significa que, quanto mais massivo estiver o “centro”, mais rápida fica a órbita de a dado raio.
Fisicamente isso significa que, quanto mais massivo estiver o “centro”, mais rápida fica a órbita de