(23.23) Considere n cargas pontuais positivas iguais, cada uma de módulo Q / n, colocadas simetricamente sobre uma circunferência de raio R. Calcule o módulo do campo elétrico num ponto a uma distância x do plano da circunferência sobre o eixo de simetria da circunferência. Resposta: ke Q x i(R^2+x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos n cargas pontuais iguais, cada uma de carga , distribuídas igualmente numa circunferência de raio . Queremos achar o campo elétrico num ponto que fica a uma distância do plano dessa circunferência, bem no eixo de simetria (imaginando o eixo perpendicular ao plano).
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb, princípio da superposição e decomposição vetorial. Vamos precisar lembrar que o campo de várias cargas soma vetorialmente e usar geometria básica pra decompor componentes.

Passo 2

Primeiro, qual é a lei de Coulomb?
Para uma carga puntiforme E = ke ,qr^2,r, , o campo elétrico num ponto a uma distância é
onde é a constante eletrostática e é o versor do ponto de carga até o ponto onde medimos o campo.
O princípio da superposição diz que, para várias cargas, basta somar vetor a vetor os campos de cada uma.

Passo 3

Vamos olhar pra uma carga qualquer sobre a circunferência. A distância dela até o ponto no eixo é
r = raizR^2 + x^2,
Então o módulo do campo que essa carga gera é
Euma = ke,(Q/n)(R^2 + x^2)
Mas atenção: esse campo aponta na direção do ponto, formando um ângulo Euma,x = Eumacostheta = ke,(Q/n)(R^2 + x^2) times xraizR^2 + x^2 = ke,(Q/n),x(R^2 + x^2)^3/2 com o eixo. Geometricamente, .
Então a componente ao longo do eixo (vamos chamar de direção ) é

Passo 4

Agora, por simetria, as componentes transversais (na direção do plano) de cada carga se cancelam em pares. Só sobra a componente ao longo do eixo. Como temos Ex = n times Euma,x = n times ke,(Q/n),x(R^2 + x^2)^3/2 = ke,Q,x(R^2 + x^2)^3/2 cargas idênticas, somamos vezes a componente que achamos:
E o vetor aponta ao longo do eixo (no nosso caso, escolhemos ).

Resposta

boxedE = ke,Q,x(R^2 + x^2)^3/2;i

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