(23.23) Considere
cargas pontuais positivas iguais, cada uma de módulo
, colocadas simetricamente sobre uma circunferência de raio
. Calcule o módulo do campo elétrico num ponto a uma distância
do plano da circunferência sobre o eixo de simetria da circunferência. Resposta:
Passo 1
Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos n cargas pontuais iguais, cada uma de carga
, distribuídas igualmente numa circunferência de raio
. Queremos achar o campo elétrico num ponto que fica a uma distância
do plano dessa circunferência, bem no eixo de simetria (imaginando o eixo perpendicular ao plano).
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb, princípio da superposição e decomposição vetorial. Vamos precisar lembrar que o campo de várias cargas soma vetorialmente e usar geometria básica pra decompor componentes.
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb, princípio da superposição e decomposição vetorial. Vamos precisar lembrar que o campo de várias cargas soma vetorialmente e usar geometria básica pra decompor componentes.
Passo 2
Primeiro, qual é a lei de Coulomb?
Para uma carga puntiforme , o campo elétrico num ponto a uma distância
é
Para uma carga puntiforme
onde
é a constante eletrostática e
é o versor do ponto de carga até o ponto onde medimos o campo.
O princípio da superposição diz que, para várias cargas, basta somar vetor a vetor os campos de cada uma.
O princípio da superposição diz que, para várias cargas, basta somar vetor a vetor os campos de cada uma.
Passo 3
Vamos olhar pra uma carga qualquer sobre a circunferência. A distância dela até o ponto no eixo é
Então o módulo do campo que essa carga gera é
Mas atenção: esse campo aponta na direção do ponto, formando um ângulo
com o eixo. Geometricamente,
.
Então a componente ao longo do eixo (vamos chamar de direção ) é
Então a componente ao longo do eixo (vamos chamar de direção
Passo 4
Agora, por simetria, as componentes transversais (na direção do plano) de cada carga se cancelam em pares. Só sobra a componente ao longo do eixo. Como temos
cargas idênticas, somamos
vezes a componente que achamos:
E o vetor aponta ao longo do eixo (no nosso caso, escolhemos
).