Mostre que
é um homomorfismo multiplicativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa mostrar que a função determinante, que vai de $ GL(n, \mathbb{R}) $ para $ \mathbb{R}^{} $, é um homomorfismo multiplicativo. Basicamente, isso significa que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Para isso, vamos precisar entender o que são $ GL(n, \mathbb{R}) $ (o grupo geral de matrizes invertíveis de ordem $ n $ com entradas reais) e $ \mathbb{R}^{} $ (o conjunto dos números reais não nulos). Também vamos usar algumas propriedades básicas dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um homomorfismo multiplicativo. Em termos simples, uma função $ f $ é um homomorfismo multiplicativo se, para quaisquer duas matrizes $ A $ e $ B $ em $ GL(n, \mathbb{R}) $, a seguinte igualdade vale:
No nosso caso, $ f $ é o determinante, então precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos considerar duas matrizes invertíveis $ A $ e $ B $ em $ GL(n, \mathbb{R}) $. Como ambas são invertíveis, sabemos que seus determinantes são diferentes de zero, ou seja, $ \det(A) \neq 0 $ e $ \det(B) \neq 0 $.
Passo 4
Uma propriedade fundamental do determinante é que ele é uma função multilinear e alternante nas colunas (ou linhas) da matriz. Além disso, o determinante de uma matriz produto é igual ao produto dos determinantes. Ou seja, essa é uma propriedade que podemos aplicar diretamente.
Passo 5
Aplicando a propriedade mencionada, temos:
Isso mostra exatamente o que precisávamos provar: que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \det : GL(n, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*} $ é um homomorfismo multiplicativo, já que $ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) $.