Usando a série geométrica, calcule o valor de:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da série infinita. Informações dadas:
  • Série: \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k-1}.
  • O somatório é para k variando de 1 até infinito.
  • Cada termo é \left(\dfrac{2}{5}\right)^{k-1}.

Passo 2

Identificar a forma dos termos e reindexar para facilitar. Note que se fizermos a mudança de variável n=k-1 então n varia de 0 a \infty e
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.
Essa é uma série em que cada termo é da forma a r^{n} com a sendo o primeiro termo e r a razão. Aqui:
  • a é o primeiro termo da sequência (quando n=0),
a=\left(\frac{2}{5}\right)^{0}=1.
  • r é a razão entre termos consecutivos,
r=\frac{2}{5}.

Passo 3

Lembrar e demonstrar a fórmula da soma parcial de uma série geométrica (para fixar bem a ideia). Seja a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a r^{n}=a + a r + a r^{2}+\cdots + a r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo:
r S_{N}=a r + a r^{2}+\cdots + a r^{N}+a r^{N+1},
S_{N}-r S_{N}=a - a r^{N+1}.
Fatorando:
S_{N}(1-r)=a(1-r^{N+1}).
Portanto a soma parcial é
S_{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},\qquad\text{para }r\neq 1.

Passo 4

Convergência da série infinita. Se |r|<1 então \displaystyle \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0. No nosso caso |r|=\left|\dfrac{2}{5}\right|=\dfrac{2}{5}<1, logo podemos tomar limite em S_{N}:
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\lim_{N\to\infty} S_{N}= \lim_{N\to\infty} a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}.
Aqui explicando cada variável:
  • a é o primeiro termo ( a=1);
  • r é a razão ( r=\tfrac{2}{5});
  • A condição |r|<1 garante que os termos vão a zero rápido o suficiente para a soma convergir.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao problema. Substituindo a=1 e r=\dfrac{2}{5} obtemos:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k-1}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\tfrac{2}{5}}=\frac{1}{\tfrac{3}{5}}=\frac{5}{3}.
Como verificação rápida, em decimal isso é \dfrac{5}{3}\approx 1{,}666\ldots.

Passo 6

Dica para a prova: sempre verifique o índice (aqui o expoente é k-1), reindexe para começar em 0 quando for conveniente, identifique a e r e confirme |r|<1 antes de usar \dfrac{a}{1-r}. Mandou bem em pedir passo a passo — você já domina a técnica básica das séries geométricas!

Resposta

\dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados