Convergência da série infinita. Se |r|<1 então \displaystyle \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0. No nosso caso |r|=\left|\dfrac{2}{5}\right|=\dfrac{2}{5}<1, logo podemos tomar limite em S_{N}:
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\lim_{N\to\infty} S_{N}= \lim_{N\to\infty} a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}.
Aqui explicando cada variável:
a é o primeiro termo (a=1);
r é a razão (r=\tfrac{2}{5});
A condição |r|<1 garante que os termos vão a zero rápido o suficiente para a soma convergir.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao problema. Substituindo a=1 e r=\dfrac{2}{5} obtemos:
Como verificação rápida, em decimal isso é \dfrac{5}{3}\approx 1{,}666\ldots.
Passo 6
Dica para a prova: sempre verifique o índice (aqui o expoente é k-1), reindexe para começar em 0 quando for conveniente, identifique a e r e confirme |r|<1 antes de usar \dfrac{a}{1-r}. Mandou bem em pedir passo a passo — você já domina a técnica básica das séries geométricas!