Usando a Série de Taylor/Maclaurin encontre:
o valor de \operatorname{sen} 5^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de \sin5^\circ usando a série de Maclaurin de \sin x. Vamos converter o ângulo de graus para radianos e depois aplicar a expansão em potências de x.

Passo 2

Convertemos 5^\circ para radianos usando
x = 5^\circ = \frac{5\pi}{180} = \frac{\pi}{36} \approx 0,0872665.

Passo 3

A série de Maclaurin para \sin x é
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
Calculamos as potências necessárias:
x \approx 0,0872665, \quad x^3 \approx (0,0872665)^3 \approx 0,0006645, \quad x^5 \approx 0,00000506, \quad x^7 \approx 3,85\times10^{-8}.

Passo 4

Agora formamos os termos da série até x^7:
T_1 = x \approx 0,0872665, \quad T_2 = -\frac{x^3}{6} \approx -0,0001107, \quad T_3 = \frac{x^5}{120} \approx 0,0000000422, \quad T_4 = -\frac{x^7}{5040} \approx -7{,}6\times10^{-12}.
Somando os três primeiros termos (já que T_4 é desprezível),
\sin5^\circ \approx 0,0872665 - 0,0001107 + 0,0000000422 = 0,0871558.

Resposta

\sin5^\circ \approx 0,0871558

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