1. Obtenha a série de Laurent de \frac{e^{z}}{z^{2}+1} em torno do ponto singular z=-i até o termo quadrático. Qual é o resíduo da função nessa singularidade? Dica: multiplique a série de Taylor de e^{z} em torno de z=-i pela série de Laurent do problema 4. Resp: \frac{i e^{-i}}{2(z+1)}+\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{2}\right) e^{-i}+ \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{8}\right) e^{-i}(z+i)+\left(\frac{1}{16}-\frac{i}{24}\right) e^{-i}(z+i)^{2}+\cdots, \operatorname{Res}\left(\frac{e^{z}}{z^{2}+1},-i\right)=\frac{i e^{-i}}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \dfrac{e^{z}}{z^{2}+1} e pede duas coisas em torno da singularidade z=-i:
  • Obter a série de Laurent centrada em z=-i até o termo quadrático (ou seja, até o coeficiente de (z+i)^{2}).
  • Determinar o resíduo da função em z=-i.
Informações relevantes dadas:
  • A função tem pólos nas raízes de z^{2}+1=0, isto é em z=i e z=-i.
  • Vamos expandir em torno de z=-i; convenientemente usemos a variável local w=z+i, de modo que w=0 corresponde a z=-i.

Passo 2

Primeiro, vamos obter a série de Laurent de \dfrac{1}{z^{2}+1} em torno de z=-i. Isso é útil porque o enunciado sugere multiplicar essa série pela série de Taylor de e^{z} em torno de z=-i.
Fazemos a mudança w=z+i. Então z=w-i e
z-i = (w-i)-i = w-2i.
Logo
z^{2}+1=(z+i)(z-i)=w(w-2i) = -2i\,w + w^{2}.
Assim
\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{1}{w(w-2i)} = \frac{1}{w}\cdot\frac{1}{w-2i}.
Para escrever como série de Laurent, fatoramos w-2i = -2i\left(1-\dfrac{w}{2i}\right). Então
\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{1}{w}\cdot\frac{1}{-2i}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{w}{2i}} = -\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{w}{2i}}.
Agora usamos a série geométrica \dfrac{1}{1-a}=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n} válida para |a|<1. Tomando a=\dfrac{w}{2i}, obtemos (válida para |w|<|2i|=2)
\frac{1}{1-\dfrac{w}{2i}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w}{2i}\right)^{n}.
Portanto
\frac{1}{z^{2}+1} = -\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{w}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w}{2i}\right)^{n} = \frac{i}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{\,n-1}}{(2i)^{n}},
onde usei -\dfrac{1}{2i}=\dfrac{i}{2}. Esta é a série de Laurent de 1/(z^{2}+1) centrada em w=0 (ou seja, z=-i).
Explicação didática rápida: escrevemos 1/(z^{2}+1) como uma parte singular 1/w multiplicada por uma parte analítica 1/(1-w/(2i)) e expandimos a parte analítica em série geométrica. Assim obtivemos uma série com termo principal em w^{-1} e potências não negativas de w depois disso — típica forma de uma série de Laurent para um pólo simples.

Passo 3

Agora vamos a e^{z}. Em torno de z=-i (ou seja, w=0) temos
e^{z} = e^{w-i} = e^{-i}\,e^{w}.
Expandindo e^{w} em série de Taylor:
e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}.
Logo
e^{z} = e^{-i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}.
Comentário didático: a série de Taylor de e^{w} é \sum_{k=0}^{\infty} w^{k}/k!; aqui o fator e^{-i} é apenas a constante de deslocamento por termos da expansão em torno de z=-i.

Passo 4

Multiplicamos as duas séries (Laurent de 1/(z^{2}+1) e Taylor de e^{z}) para obter a série de Laurent de f(z)=\dfrac{e^{z}}{z^{2}+1}. Usando as expressões:
\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{i}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{\,n-1}}{(2i)^{n}}, \qquad e^{z} = e^{-i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!},
temos
\frac{e^{z}}{z^{2}+1} = e^{-i}\cdot\frac{i}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\frac{w^{\,k+n-1}}{(2i)^{n}}.
Queremos os coeficientes de w^{-1}, w^{0}, w^{1}, w^{2}. Esses correspondem às combinações k+n-1=-1,0,1,2 ou k+n=0,1,2,3. Vamos calcular termo a termo.
(1) Coeficiente de w^{-1} (ou seja k+n=0):
  • Só há k=0,n=0.
  • Soma interna: \dfrac{1}{0!}\dfrac{1}{(2i)^{0}}=1.
  • Multiplicando pelo fator exterior: coeficiente = e^{-i}\cdot\dfrac{i}{2}\cdot 1 = \dfrac{i e^{-i}}{2}.
(2) Coeficiente de w^{0} (ou seja k+n=1):
  • Possíveis pares: (k,n)=(0,1) e (1,0).
  • Soma: \dfrac{1}{0!}\dfrac{1}{(2i)^{1}}+\dfrac{1}{1!}\dfrac{1}{(2i)^{0}}=\dfrac{1}{2i}+1.
  • Lembre que \dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}. Então soma =1-\dfrac{i}{2}.
  • Multiplicando pelo fator e^{-i}\dfrac{i}{2}: coeficiente = e^{-i}\dfrac{i}{2}\left(1-\dfrac{i}{2}\right).
  • Simplificando: \dfrac{i}{2}\left(1-\dfrac{i}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{i}{2}. Assim coeficiente constante = \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{i}{2}\right)e^{-i}.
(3) Coeficiente de w^{1} (ou seja k+n=2):
  • Pares: (0,2),(1,1),(2,0).
  • Valores: \dfrac{1}{(2i)^{2}} + \dfrac{1}{1!}\dfrac{1}{2i} + \dfrac{1}{2!}.
  • Calculando: \dfrac{1}{(2i)^{2}}=\dfrac{1}{4i^{2}}=-\dfrac{1}{4}. \dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}. \dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2}.
  • Soma: -\dfrac{1}{4}-\dfrac{i}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}-\dfrac{i}{2}.
  • Multiplicando por e^{-i}\dfrac{i}{2}: coeficiente = e^{-i}\dfrac{i}{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{i}{2}\right).
  • Simplificando: \dfrac{i}{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{i}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{i}{8}. Logo coeficiente de w^{1} é \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{i}{8}\right)e^{-i}.
(4) Coeficiente de w^{2} (ou seja k+n=3):
  • Pares: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0).
  • Valores: \dfrac{1}{(2i)^{3}}+\dfrac{1}{1!}\dfrac{1}{(2i)^{2}}+\dfrac{1}{2!}\dfrac{1}{2i}+\dfrac{1}{3!}.
  • Calculando cada termo:
    • \dfrac{1}{(2i)^{3}} = \dfrac{1}{-8i} = \dfrac{i}{8} (usar 1/i=-i com cuidado dá mesmo \dfrac{i}{8}).
    • \dfrac{1}{(2i)^{2}} = -\dfrac{1}{4}.
    • \dfrac{1}{2!}\dfrac{1}{2i} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2i} = \dfrac{1}{4i} = -\dfrac{i}{4}.
    • \dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}.
  • Soma: \dfrac{i}{8} -\dfrac{1}{4} -\dfrac{i}{4} +\dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{12} -\dfrac{i}{8}.
  • Multiplicando por e^{-i}\dfrac{i}{2}: coeficiente = e^{-i}\dfrac{i}{2}\left(-\dfrac{1}{12}-\dfrac{i}{8}\right).
  • Simplificando: \dfrac{i}{2}\left(-\dfrac{1}{12}-\dfrac{i}{8}\right)=\dfrac{1}{16}-\dfrac{i}{24}. Então coeficiente de w^{2} é \left(\dfrac{1}{16}-\dfrac{i}{24}\right)e^{-i}.
Comentário didático: em cada passo somamos contribuições de pares (k,n) tais que a potência resultante dá a potência de interesse; isso é consequência da multiplicação de séries. Cálculos com potências de i e reagrupamento de parte real e imaginária são mecânicos mas importantes para obter coeficientes corretos.

Passo 5

Agora escrevemos a série de Laurent em termos de w=z+i usando os coeficientes encontrados. Até o termo quadrático:
\frac{e^{z}}{z^{2}+1} = \frac{i e^{-i}}{2}\,w^{-1} + \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{2}\right)e^{-i} + \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{8}\right)e^{-i}\,w + \left(\frac{1}{16}-\frac{i}{24}\right)e^{-i}\,w^{2} + \cdots.
Voltando a z (substituindo w=z+i):
\frac{e^{z}}{z^{2}+1} = \frac{i e^{-i}}{2(z+i)} + \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{2}\right)e^{-i} + \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{8}\right)e^{-i}(z+i) + \left(\frac{1}{16}-\frac{i}{24}\right)e^{-i}(z+i)^{2} + \cdots.

Passo 6

O resíduo da função em z=-i é o coeficiente do termo (z+i)^{-1} na série de Laurent. Nós o calculamos no Passo 4:
\operatorname{Res}\!\left(\frac{e^{z}}{z^{2}+1},-i\right)=\frac{i e^{-i}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{z}}{z^{2}+1}=\frac{i e^{-i}}{2(z+i)}+\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{2}\right)e^{-i}+\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{8}\right)e^{-i}(z+i)+\left(\frac{1}{16}-\frac{i}{24}\right)e^{-i}(z+i)^{2}+\cdots
\displaystyle \operatorname{Res}\!\left(\frac{e^{z}}{z^{2}+1},-i\right)=\frac{i e^{-i}}{2}

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