- Obtenha a série de Laurent de
em torno do ponto singular
até o termo quadrático. Qual é o resíduo da função nessa singularidade? Dica: multiplique a série de Taylor de
em torno de
pela série de Laurent do problema 4. Resp:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas em torno da singularidade
:
- Obter a série de Laurent centrada em
até o termo quadrático (ou seja, até o coeficiente de ). - Determinar o resíduo da função em
.
Informações relevantes dadas:
- A função tem pólos nas raízes de
, isto é em e . - Vamos expandir em torno de
; convenientemente usemos a variável local , de modo que corresponde a .
Passo 2
Primeiro, vamos obter a série de Laurent de
em torno de
. Isso é útil porque o enunciado sugere multiplicar essa série pela série de Taylor de
em torno de
.
Fazemos a mudança
. Então
e
Logo
Assim
Para escrever como série de Laurent, fatoramos
. Então
Agora usamos a série geométrica
válida para
. Tomando
, obtemos (válida para
)
Portanto
onde usei
. Esta é a série de Laurent de
centrada em
(ou seja,
).
Explicação didática rápida: escrevemos
como uma parte singular
multiplicada por uma parte analítica
e expandimos a parte analítica em série geométrica. Assim obtivemos uma série com termo principal em
e potências não negativas de
depois disso — típica forma de uma série de Laurent para um pólo simples.
Passo 3
Agora vamos a
. Em torno de
(ou seja,
) temos
Expandindo
em série de Taylor:
Logo
Comentário didático: a série de Taylor de
é
; aqui o fator
é apenas a constante de deslocamento por termos da expansão em torno de
.
Passo 4
Multiplicamos as duas séries (Laurent de
e Taylor de
) para obter a série de Laurent de
. Usando as expressões:
temos
Queremos os coeficientes de
. Esses correspondem às combinações
ou
. Vamos calcular termo a termo.
(1) Coeficiente de
(ou seja
):
- Só há
. - Soma interna:
. - Multiplicando pelo fator exterior: coeficiente
.
(2) Coeficiente de
(ou seja
):
- Possíveis pares:
e . - Soma:
. - Lembre que
. Então soma . - Multiplicando pelo fator
: coeficiente . - Simplificando:
. Assim coeficiente constante .
(3) Coeficiente de
(ou seja
):
- Pares:
. - Valores:
. - Calculando:
. . . - Soma:
. - Multiplicando por
: coeficiente . - Simplificando:
. Logo coeficiente de é .
(4) Coeficiente de
(ou seja
):
- Pares:
. - Valores:
. - Calculando cada termo:
-
(usar com cuidado dá mesmo ). -
. -
. -
.
-
- Soma:
. - Multiplicando por
: coeficiente . - Simplificando:
. Então coeficiente de é .
Comentário didático: em cada passo somamos contribuições de pares
tais que a potência resultante dá a potência de interesse; isso é consequência da multiplicação de séries. Cálculos com potências de
e reagrupamento de parte real e imaginária são mecânicos mas importantes para obter coeficientes corretos.
Passo 5
Agora escrevemos a série de Laurent em termos de
usando os coeficientes encontrados. Até o termo quadrático:
Voltando a
(substituindo
):
Passo 6
O resíduo da função em
é o coeficiente do termo
na série de Laurent. Nós o calculamos no Passo 4: