Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
Usando o símbolo de Levi-Civita:
O conteúdo é cálculo vetorial com indíces, precisão na notação de Levi-Civita e no uso de derivadas parciais.
Passo 2
Vamos escrever o i-ésimo componente de
em notação de indíces. Temos
Passo 3
Expressamos
também por Levi-Civita:
Substituindo na identidade anterior:
Passo 4
Passo 5
Agora usamos o produto de duas tensores de Levi-Civita:
Logo:
Passo 6
Passo 7
Desmembrando os deltas:
Aqui note que a primeira parcela pode ser reescrita usando derivada de
:
Passo 8
Passo 9
Portanto, em cada componente i fica:
Isso, em notação vetorial, é exatamente
Resposta
Usando Levi-Civita e manipulando índices obtemos