Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
A times(nabla times A)=12 nabla A^2-(A cdot nabla) A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
Usando o símbolo de Levi-Civita:
O conteúdo é cálculo vetorial com indíces, precisão na notação de Levi-Civita e no uso de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos escrever o i-ésimo componente de vec A times (nabla times vec A) em notação de indíces. Temos
(vec A times (nabla times vec A))i = varepsiloni j k,Aj,(nabla times vec A)k

Passo 3

Expressamos (nabla times vec A)k também por Levi-Civita:
(nabla times vec A)k = varepsilonk l m,partiall Am
Substituindo na identidade anterior:

Passo 4

(vec A times (nabla times vec A))i = varepsiloni j k,Aj,varepsilonk l m,partiall Am

Passo 5

Agora usamos o produto de duas tensores de Levi-Civita:
varepsiloni j k,varepsilonk l m = de
Logo:

Passo 6

(vec A times (nabla times vec A))i = (de

Passo 7

Desmembrando os deltas:
(vec A times (nabla times vec A))i = Aj,partiali Aj - Aj,partialj Ai
Aqui note que a primeira parcela pode ser reescrita usando derivada de A^2 = Aj Aj:

Passo 8

Aj,partiali Aj = tfrac12,partiali(Aj Aj) = tfrac12,partiali(A^2)

Passo 9

Portanto, em cada componente i fica:
(vec A times (nabla times vec A))i = tfrac12,partiali(A^2) - Aj,partialj Ai
Isso, em notação vetorial, é exatamente
vec A times (nabla times vec A) = tfrac12,nabla A^2 - (vec A cdot nabla)vec A

Resposta

Usando Levi-Civita e manipulando índices obtemos
vec A times (nabla times vec A)=tfrac12,nabla A^2-(vec Acdotnabla)vec A.

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