Um par pósitron-elétron pode ser produzido na interação de um fóton com um elétron, via gamma+e^- e^-+e^++e^-. Determine a energia mínima do fóton incidente para produzir a reação.

Passo 1

O enunciado pede a energia mínima de um fóton incidente em um elétron em repouso para que ocorra a reação gamma + e^- to e^- + e^+ + e^-. O conteúdo necessário é relatividade restrita, em particular o uso do invariante de Mandelstam s para colisões, e a energia de repouso do elétron me c^2.

Passo 2

No referencial do laboratório, o elétron alvo está em repouso e o fóton tem energia Egamma. O invariante s é dado por
s = (pgamma + pe)^2 = me^2 c^4 + 2 Egamma me c^2
pois o fóton tem massa nula e pe^2 = me^2 c^4.

Passo 3

No limiar de produção (energia mínima), todos os três pósittrons e elétrons finais se movem com velocidade comum no CM, de modo que o invariante mínimo é
smin = (3 me c^2)^2 = 9 me^2 c^4
Igualando s = smin temos
me^2 c^4 + 2 Egamma me c^2 = 9 me^2 c^4
Resolvendo para Egamma:
2 Egamma me c^2 = 8 me^2 c^4
Egamma = 4 me c^2

Passo 4

Para obter valor numérico usamos me c^2 approx 0,511 MeV, então
Emin = 4 times 0,511 MeV approx 2,044 MeV

Resposta

Emin = 4 me c^2 approx 2,044 MeV

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