Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
epsiloni1 ldots in epsilon^i1 ldots in=n !

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de dimensão n, o produto contraído do símbolo de Levi-Civita com ele próprio satisfaça epsiloni1 ldots in,epsilon^i1 ldots in = n!. O conteúdo envolvido é o uso da definição do símbolo de Levi-Civita e a convenção de soma de Einstein.

Passo 2

O símbolo de Levi-Civita epsiloni1ldots in é um tensor totalmente antissimétrico que vale +1 para permutações pares dos índices (1,2,dots,n), -1 para permutações ímpares, e zero em qualquer outro caso (ou seja, quando há índices repetidos). Pela convenção de soma de Einstein, índices repetidos em cima e em baixo são somados de 1 até n.

Passo 3

Como epsilon^i1ldots in é obtido levantando índices com o tensor métrico (em espaço euclidiano padrão isso só troca posição sem alterar o valor ±1), o produto epsiloni1ldots in,epsilon^i1ldots in só recebe contribuição dos n! vetores de índices que formam permutações de (1,2,dots,n). Em cada permutação, temos
(epsilonsigma(1)ldotssigma(n)),(epsilon^sigma(1)ldotssigma(n)) = (pm1),(pm1) = 1

Passo 4

Assim, somando sobre todas as permutações sigmain Sn obtemos
epsiloni1ldots in,epsilon^i1ldots in = sumi1,ldots,in=1^n epsiloni1ldots in,epsilon^i1ldots in = sumsigmain Sn1 = n!

Resposta

n!

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