Usando o símbolo de Levi-Civita, mostre as seguintes identidades:
!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de dimensão
, o produto contraído do símbolo de Levi-Civita com ele próprio satisfaça
. O conteúdo envolvido é o uso da definição do símbolo de Levi-Civita e a convenção de soma de Einstein.
Passo 2
O símbolo de Levi-Civita
é um tensor totalmente antissimétrico que vale
para permutações pares dos índices
,
para permutações ímpares, e zero em qualquer outro caso (ou seja, quando há índices repetidos). Pela convenção de soma de Einstein, índices repetidos em cima e em baixo são somados de 1 até
.
Passo 3
Como
é obtido levantando índices com o tensor métrico (em espaço euclidiano padrão isso só troca posição sem alterar o valor ±1), o produto
só recebe contribuição dos
vetores de índices que formam permutações de
. Em cada permutação, temos
Passo 4
Assim, somando sobre todas as permutações
obtemos
Resposta
n!