Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral e^a x d x, onde a neq 0 é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observamos que temos u = a x no expoente. Então, vamos definir uma nova variável igual a :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = a em relação a du = a , dx para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados da equação :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar dx = dua em termos de . Para isso, rearranjamos a equação :

Passo 5

Substituímos agora integral e^a x , dx = integral e^u cdot dua = 1a integral e^u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 1a integral e^u , du = 1a e^u + C em relação a é simplesmente . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 1a e^u + C = 1a e^a x + C :

Resposta

A integral é:
integral e^a x , dx = e^a xa + C

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