Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral e^x raiz1-e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xraiz1 - e^2x,dx
usando substituições adequadas. O conteúdo aqui é integração por substituição simples seguida de uma substituição trigonométrica para tratar raiz1 - t^2.

Passo 2

Façamos a substituição
t = e^x, dt = e^xdx
Assim,
integral e^xraiz1 - e^2x,dx = integral raiz1 - t^2,dt

Passo 3

Para integral raiz1 - t^2,dt usamos a substituição trigonométrica
t = sintheta, dt = costheta,dtheta, raiz1 - t^2 = costheta
A integral vira
integral costheta;costheta,dtheta = integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Logo,
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 5

Voltando a t: como sin(2theta)=2sinthetacostheta=2traiz1 - t^2, temos
integral raiz1 - t^2,dt = theta2 + traiz1 - t^22 + C = 12arcsin(t) + traiz1 - t^22 + C

Passo 6

Substituindo t = e^x de volta, concluímos que
integral e^xraiz1 - e^2x,dx = 12arcsinl(e^xr) + e^xraiz1 - e^2x2 + C

Resposta

12arcsinl(e^xr) + e^xraiz1 - e^2x2 + C

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