Usando a substituição trigonométrica adequada, calcule as integrais.
integral d x(1-x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxl(1 - x^2r)^3/2
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções com raiz do tipo raiz1-x^2 e vamos usar a substituição x=sintheta, válida para |x|<1.

Passo 2

Fazendo
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, 1 - x^2 = 1 - sin^2theta = cos^2theta,
a integral vira
integral dx(1 - x^2)^3/2 = integral costheta,dthetal(cos^2thetar)^3/2 = integral costheta,dthetacos^3theta = integral sec^2theta,dtheta

Passo 3

Sabendo que ddtheta(tantheta)=sec^2theta, obtemos
integral sec^2theta,dtheta = tantheta + C

Passo 4

Voltando para x, temos
tantheta = sinthetacostheta = xraiz1 - x^2,
portanto a primitiva é
tantheta + C = xraiz1 - x^2 + C

Resposta

integral dx(1 - x^2)^3/2 = xraiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados