Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^1y,e^x y,dx,dy
O conteúdo aqui é a integração iterada de uma função contínua em retângulo, ou seja, podemos usar Fubini e calcular primeiro a integral interna em x e depois em y.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em x, tratando y como constante:
integral0^1y,e^x y,dx
Fatorando y, temos
yintegral0^1e^x y,dx
Como integral e^x y,dx = 1ye^x y, obtemos
y[1ye^x y]x=0^x=1 = l[e^y-e^0r] = e^y-1

Passo 3

Substituindo o resultado da integral interna na externa, fica
integral0^1l(e^y-1r),dy

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1e^y,dy - integral0^11,dy = l[e^yr]0^1 - l[yr]0^1 = (e-1) - 1 = e - 2

Resposta

e - 2

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