Usando a tabela da distribuição normal padrão, determine as seguintes probabilidades para X \sim N(4,16), Y \sim N(-2,9), W \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right):
P(3,1 \leq X<4,2).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade
P(3{,}1 \leq X < 4{,}2)
para X \sim N(4,16). As informações dadas que vamos usar são:
  • \mu_X = 4 (média);
  • \sigma_X^{2} = 16 (variância), logo \sigma_X = 4.

Passo 2

Vamos transformar X numa variável normal padrão Z. A normal padrão é a normal com média 0 e desvio padrão 1. A padronização é feita por:
Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X},
onde \mu_X é a média de X e \sigma_X é o desvio padrão de X. Isso nos permite usar a tabela da normal padrão, que dá valores de \Phi(z)=P(Z \le z).

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites:
\text{limite inferior: } z_1=\frac{3{,}1-4}{4}=\frac{-0{,}9}{4}=-0{,}225,
\text{limite superior: } z_2=\frac{4{,}2-4}{4}=\frac{0{,}2}{4}=0{,}05.
Portanto
P(3{,}1 \le X < 4{,}2)=P(-0{,}225 \le Z < 0{,}05)=\Phi(0{,}05)-\Phi(-0{,}225).

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão: peguei os valores da tabela para os pontos necessários.
  • \Phi(0{,}05) na tabela vale aproximadamente 0{,}5199.
  • A tabela fornece \Phi(0{,}22)=0{,}5871 e \Phi(0{,}23)=0{,}5910. Para \Phi(0{,}225) fazemos interpolação linear entre esses dois valores:
\Phi(0{,}225)\approx\frac{\Phi(0{,}22)+\Phi(0{,}23)}{2}=\frac{0{,}5871+0{,}5910}{2}=0{,}58905\approx0{,}5891.
Pela simetria da normal padrão tem-se
\Phi(-0{,}225)=1-\Phi(0{,}225)\approx1-0{,}5891=0{,}4109\approx0{,}4110.

Passo 5

Agora calculamos a diferença:
P(3{,}1 \le X < 4{,}2)=\Phi(0{,}05)-\Phi(-0{,}225)\approx0{,}5199-0{,}4110=0{,}1089.
Isso significa que a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}1089 (cerca de 10{,}89\%). Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu o procedimento: padronizar, ler a tabela e usar a simetria quando precisar.

Resposta

0{,}1089

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