Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=10 \operatorname{sen}(t) * 3 \delta(t+2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a transformada de Fourier do sinal dado e (2) fazer um programa Scilab para plotar o sinal no tempo e a sua transformada. O sinal fornecido é
f(t)=10\\ \operatorname{sen}(t) * 3\,\delta(t+2).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do sinal é \;f(t)=10\operatorname{sen}(t)*3\delta(t+2)\;.
  • Há um operador * entre \operatorname{sen}(t) e \delta(t+2). Vou interpretar este * como convolução (notação padrão em processamento de sinais), ou seja \operatorname{sen}(t)*\delta(t+2) é a convolução no tempo entre \operatorname{sen}(t) e \delta(t+2).
  • O enunciado pede também um programa Scilab que plote o sinal no tempo e a sua transformada (no domínio da frequência).

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados devagarzinho):
  1. Definição da transformada de Fourier (usando frequência angular \omega):
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui x(t) é o sinal no tempo, \omega é a frequência angular (em rad/s), j é a unidade imaginária. A transformada converte um sinal do tempo para o domínio da frequência.
  1. Transformada de uma exponencial complexa (fato útil):
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\}=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0).
Isto significa que uma componente harmônica pura vira um impulso em \omega=\omega_0.
  1. Representação de \operatorname{sen}(t) como exponenciais complexas (fórmula padrão, importante para achar a transformada):
\operatorname{sen}(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2j}.
Usando a propriedade anterior, cada termo exponencial gera um impulso em frequência.
  1. Propriedade do deslocamento no tempo (time shift):
    Se x(t)\leftrightarrow X(\omega), então
x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}X(\omega).
Isto significa que deslocar o sinal no tempo corresponde a multiplicar sua transformada por um fator complexo de fase.
  1. Propriedade da convolução no tempo:
    Se x(t)*y(t) é convolução no tempo, então no domínio da frequência
x(t)*y(t)\leftrightarrow X(\omega)\,Y(\omega)
(i.e., convolução no tempo vira multiplicação em frequência). Também usaremos o caso particular de convolução com um delta deslocado:
x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0).
Isto é intuitivo: convoluir com um delta deslocado apenas desloca o sinal.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao problema passo a passo (sem pular etapas):
  1. Reescrevendo o sinal usando as constantes:
f(t)=10\operatorname{sen}(t)*3\delta(t+2)=30\left(\operatorname{sen}(t)*\delta(t+2)\right).
(peguei o 3 e o 10 como escalares; multipliquei: 10\cdot3=30).
  1. Convolução com delta deslocado:
    Como \delta(t+2)=\delta(t-(-2)), usamos
\operatorname{sen}(t)*\delta(t+2)=\operatorname{sen}(t+2).
Logo
f(t)=30\,\operatorname{sen}(t+2).
Explicando: convoluir qualquer sinal com \delta(t-t_0) resulta no mesmo sinal deslocado por t_0. Aqui t_0=-2, então o deslocamento é para a esquerda (adição de +2 no argumento).

Passo 4

Transformada de \operatorname{sen}(t) e aplicação do deslocamento:
  1. Primeiro calculemos \mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}. Usando a representação exponencial:
\operatorname{sen}(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2j},
e sabendo que \mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\}=2\pi\delta(\omega-\omega_0), obtemos
\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{2j}\left(2\pi\delta(\omega-1)-2\pi\delta(\omega+1)\right).
Simplificando 1/(2j)= -j/2 e agrupando:
\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}=j\pi\left(\delta(\omega+1)-\delta(\omega-1)\right).
(esta é a forma comum: picos em \omega=\pm1 com signos/informação de fase apropriada).
  1. Agora aplicamos o deslocamento no tempo: como f(t)=30\operatorname{sen}(t+2)=30\operatorname{sen}(t-(-2)), o deslocamento é t_0=-2. Pela propriedade de deslocamento:
\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t+2)\}=e^{j\omega 2}\,\mathcal{F}\{\operatorname{sen}(t)\}.
Note que escrevemos e^{j\omega 2} porque e^{-j\omega t_0} com t_0=-2 e^{-j\omega(-2)}=e^{j2\omega}.
  1. Multiplicando pelo fator 30:
F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=30\,e^{j2\omega}\,j\pi\left(\delta(\omega+1)-\delta(\omega-1)\right).
  1. Usando a propriedade de semente (sifting) para avaliar e^{j2\omega} nas posições dos deltas:
  • Para \delta(\omega+1) (que impõe \omega=-1), e^{j2\omega} torna-se e^{j2(-1)}=e^{-j2}.
  • Para \delta(\omega-1) (que impõe \omega=1), e^{j2\omega} torna-se e^{j2(1)}=e^{j2}.
Portanto
F(\omega)=30\,j\pi\left(e^{-j2}\,\delta(\omega+1)-e^{j2}\,\delta(\omega-1)\right).
Isto é a expressão final da transformada: dois impulsos em \omega=-1 e \omega=1 com amplitudes complexas dadas pelos fatores acima.

Passo 5

Tabela com o sinal no tempo e sua transformada (apresentada de forma clara, conforme pedido):
Sinal no tempo t Transformada F(\omega)
\;f(t)=10\operatorname{sen}(t)*3\delta(t+2)=30\operatorname{sen}(t+2)\; \;F(\omega)=30\,j\pi\bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega+1)-e^{j2}\,\delta(\omega-1)\bigr)\;
Comentário didático: os deltas em frequência aparecem nas frequências \omega=\pm1 (porque a seno tem componentes nessas frequências) e o fator e^{\pm j2} introduz a fase que vem do deslocamento temporal de +2 no argumento do seno. O fator 30j\pi é amplitude/escala comum resultante das constantes.

Passo 6

Programa Scilab para plotar o sinal no tempo e uma representação da sua transformada (impulsos em \omega). Observação importante: a transformada contém deltas (impulsos), que não são funções contínuas que a gente plota diretamente: normalmente representamos esses deltas por “spikes” (stem) na frequência com amplitude complexa. Aqui vai um programa simples e comentado.
Scilab:
// Plota o sinal f(t)=30*sin(t+2) e representa sua transformada como impulsos em omega = -1 e +1

// --- sinal no tempo
t = linspace(-10, 10, 2000); // vetor de tempo
f = 30*sin(t + 2); // f(t)

scf(0);
plot(t, f, 'b-');
xlabel('t (s)');
ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=30*sin(t+2)');
xgrid();

// --- representação da transformada (impulsos)
w = [-1, 1]; // frequências angulares onde há deltas
A_w = [30*%i*%pi*exp(-%i*2), -30*%i*%pi*exp(%i*2)]; // amplitudes complexas: correspondem a termos em delta

// Plot magnitude e fase dos impulsos
scf(1);
subplot(2,1,1);
stem(w, abs(A_w), 'r');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('|F(\omega)|');
xtitle('Magnitude da Transformada (impulsos em \omega = \pm 1)');
xgrid();

subplot(2,1,2);
stem(w, arg(A_w), 'm'); // arg() retorna a fase em radianos
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('fase(F(\omega)) (rad)');
xtitle('Fase da Transformada nos impulsos');
xgrid();
Explicação do código:
  • Primeiro plota-se f(t)=30\sin(t+2) num intervalo de tempo escolhido (aqui [-10,10]).
  • Depois representamos a transformada por dois impulsos em \omega=-1 e \omega=1. As amplitudes complexas ( A_w) foram calculadas a partir da expressão analítica 30j\pi(e^{-j2}\delta(\omega+1)-e^{j2}\delta(\omega-1)).
  • Em vez de tentar “computar” deltas com FFT, mostra-se magnitude e fase dos coeficientes dos deltas com stem, que é a representação clássica de impulsos discretos no eixo da frequência.

Resposta

\;F(\omega)=30\,j\pi\bigl(e^{-j2}\,\delta(\omega+1)-e^{j2}\,\delta(\omega-1)\bigr)\;
Programa Scilab: ver o bloco de código fornecido no Passo 6.

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