Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=\delta(t-1)-\delta(t+1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a transformada de Fourier do sinal dado usando uma tabela; (2) fornecer um programa Scilab que plote tanto o sinal no tempo quanto a sua transformada.
Informações dadas: o sinal é \,f(t)=\delta(t-1)-\delta(t+1)\,.
Não há mais informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a definição que vamos usar (é importante saber o que cada símbolo significa). A transformada de Fourier contínua, na convenção que usaremos, é
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde:
  • \,f(t)\, é o sinal no tempo;
  • \,\omega\, é a frequência angular (rad/s);
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1);
  • F(\omega) é a função resultante no domínio das frequências.
Outra propriedade fundamental que vamos usar é a propriedade da distribuição delta (impulso):
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)\,\varphi(t)\,dt=\varphi(a),
para qualquer função teste \varphi. Na prática isso significa que integrar uma função multiplicada por \delta(t-a) “pega” o valor da função em t=a. Essa propriedade é o truque principal para transformar sinais formados por deltas.

Passo 3

Aplicando a definição diretamente ao nosso sinal \,f(t)=\delta(t-1)-\delta(t+1)\,:
\begin{aligned} F(\omega) &=\int_{-\infty}^{\infty}[\delta(t-1)-\delta(t+1)]\,e^{-j\omega t}\,dt\\[4pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-1)\,e^{-j\omega t}\,dt \;-\; \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t+1)\,e^{-j\omega t}\,dt. \end{aligned}
Usando a propriedade do delta (cada integral pega o exponencial avaliado no ponto do impulso):
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-1)\,e^{-j\omega t}\,dt=e^{-j\omega\cdot 1}=e^{-j\omega},
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t+1)\,e^{-j\omega t}\,dt=e^{-j\omega\cdot(-1)}=e^{j\omega}.
Logo
F(\omega)=e^{-j\omega}-e^{j\omega}.
Agora usamos a identidade de Euler e^{j\omega}-e^{-j\omega}=2j\sin(\omega). Reescrevendo:
F(\omega)=e^{-j\omega}-e^{j\omega} = -\bigl(e^{j\omega}-e^{-j\omega}\bigr) = -2j\sin(\omega).
Portanto a expressão simplificada da transformada é
F(\omega)=-2j\sin(\omega).
Interpretação rápida (útil na prova): F(\omega) é puramente imaginária (parte real zero), e a parte imaginária é -2\sin(\omega). A magnitude é |F(\omega)|=2|\sin(\omega)| e a fase é -\pi/2 quando \sin(\omega)>0 e +\pi/2 quando \sin(\omega)<0 (em pontos em que \sin(\omega)=0 a fase é indefinida).]

Passo 4

Agora a tabela pedida (colunas: sinal no tempo e transformada):
Sinal f(t) Transformada F(\omega)
\delta(t-1)-\delta(t+1) \;e^{-j\omega}-e^{j\omega}=-2j\sin(\omega)\;
(é isso que você deve memorizar: um impulso deslocado por a vira um fator exponencial e^{-j\omega a}; combinações lineares viram combinações lineares das exponenciais.)

Passo 5

Programa Scilab para plotar o sinal no tempo (representado por linhas/markers para os deltas) e a transformada (parte real, imaginária, magnitude e fase). Copie e cole o código abaixo em um arquivo, por exemplo plot_delta_fft.sci, e execute no Scilab.
// plot_delta_fft.sci
// Plota f(t)=delta(t-1)-delta(t+1) (como impulsos) e sua transformada F(omega) = -2*i*sin(omega)

// --- sinal no tempo (representação gráfica dos deltas) ---
clf;
figure(1);
t = linspace(-2,2,400); // apenas para desenhar a linha zero
plot(t, zeros(t), 'k-');
hold on;
t_imp = [-1, 1];       // posições dos deltas (t = -1 e t = 1)
a_imp = [-1, 1];       // amplitudes correspondentes: delta(t+1) tem coef -1; delta(t-1) tem +1

// desenhar "hastes" verticais para representar os impulsos
for k=1:length(t_imp)
    plot([t_imp(k) t_imp(k)], [0 a_imp(k)], '-r');
    plot(t_imp(k), a_imp(k), 'or'); // marcador no topo
end
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=\delta(t-1)-\delta(t+1)');
xgrid();

// --- transformada analítica ---
omega = linspace(-10,10,1000);
F = -2*%i*sin(omega); // %i é a unidade imaginária no Scilab

// plot das partes real e imaginária
figure(2);
subplot(3,1,1);
plot(omega, real(F), 'b-');
xlabel('\omega');
ylabel('Re\{F(\omega)\}');
xtitle('Parte real de F(\omega)');
xgrid();

subplot(3,1,2);
plot(omega, imag(F), 'm-');
xlabel('\omega');
ylabel('Im\{F(\omega)\}');
xtitle('Parte imaginaria de F(\omega) = -2 sin(\omega)');
xgrid();

subplot(3,1,3);
plot(omega, abs(F), 'g-');
xlabel('\omega');
ylabel('|F(\omega)|');
xtitle('Magnitude de F(\omega) = 2|sin(\omega)|');
xgrid();

// opcional: plot da fase
figure(3);
phaseF = atan2(imag(F), real(F)); // atan2(y,x)
plot(omega, phaseF, 'k-');
xlabel('\omega');
ylabel('arg(F(\omega))');
xtitle('Fase de F(\omega)');
xgrid();
Observações de uso:
  • No Scilab, %i é a unidade imaginária (por isso no código usamos %i).
  • Como deltas são distribuições teóricas, no gráfico do tempo usamos “hastes” verticais e marcadores para representar a posição e amplitude dos impulsos (essa é a forma padrão de desenhar deltas em plots).
  • A transformada foi usada na forma analítica F(\omega)=-2j\sin(\omega); o código plota sua parte real, imaginária, magnitude e fase.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (aplique aqui e em problemas semelhantes):
  • Lembre: \delta(t-a) na transformada vira e^{-j\omega a}. Isso resolve a maioria das questões com somas de deltas.
  • Combine linearidade e identidades de Euler para simplificar exponenciais em funções trigonométricas (ex.: e^{j\omega}-e^{-j\omega}=2j\sin(\omega)).
  • Se pedirem amplitude e fase, calcule magnitude com |F(\omega)|=\sqrt{\operatorname{Re}^2+\operatorname{Im}^2} e a fase com \operatorname{atan2}(\operatorname{Im},\operatorname{Re}).

Resposta

\;F(\omega)=e^{-j\omega}-e^{j\omega}=-2j\sin(\omega)\;
Programa Scilab: código fornecido no Passo 5 (arquivo sugerido: plot_delta_fft.sci).

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