Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a transformada de Fourier do sinal dado usando uma tabela; (2) fornecer um programa Scilab que plote tanto o sinal no tempo quanto a sua transformada.
Informações dadas: o sinal é .
Não há mais informações adicionais no enunciado.
Informações dadas: o sinal é
Não há mais informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar a definição que vamos usar (é importante saber o que cada símbolo significa). A transformada de Fourier contínua, na convenção que usaremos, é
onde:
-
é o sinal no tempo; -
é a frequência angular (rad/s); -
é a unidade imaginária ( ); -
é a função resultante no domínio das frequências.
Outra propriedade fundamental que vamos usar é a propriedade da distribuição delta (impulso):
para qualquer função teste
. Na prática isso significa que integrar uma função multiplicada por
“pega” o valor da função em
. Essa propriedade é o truque principal para transformar sinais formados por deltas.
Passo 3
Aplicando a definição diretamente ao nosso sinal
:
Usando a propriedade do delta (cada integral pega o exponencial avaliado no ponto do impulso):
Logo
Agora usamos a identidade de Euler
. Reescrevendo:
Portanto a expressão simplificada da transformada é
Interpretação rápida (útil na prova):
é puramente imaginária (parte real zero), e a parte imaginária é
. A magnitude é
e a fase é
quando
e
quando
(em pontos em que
a fase é indefinida).]
Passo 4
Agora a tabela pedida (colunas: sinal no tempo e transformada):
| Sinal
|
Transformada
|
|---|---|
|
|
|
(é isso que você deve memorizar: um impulso deslocado por
vira um fator exponencial
; combinações lineares viram combinações lineares das exponenciais.)
Passo 5
Programa Scilab para plotar o sinal no tempo (representado por linhas/markers para os deltas) e a transformada (parte real, imaginária, magnitude e fase). Copie e cole o código abaixo em um arquivo, por exemplo
plot_delta_fft.sci, e execute no Scilab.// plot_delta_fft.sci
// Plota f(t)=delta(t-1)-delta(t+1) (como impulsos) e sua transformada F(omega) = -2*i*sin(omega)
// --- sinal no tempo (representação gráfica dos deltas) ---
clf;
figure(1);
t = linspace(-2,2,400); // apenas para desenhar a linha zero
plot(t, zeros(t), 'k-');
hold on;
t_imp = [-1, 1]; // posições dos deltas (t = -1 e t = 1)
a_imp = [-1, 1]; // amplitudes correspondentes: delta(t+1) tem coef -1; delta(t-1) tem +1
// desenhar "hastes" verticais para representar os impulsos
for k=1:length(t_imp)
plot([t_imp(k) t_imp(k)], [0 a_imp(k)], '-r');
plot(t_imp(k), a_imp(k), 'or'); // marcador no topo
end
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=\delta(t-1)-\delta(t+1)');
xgrid();
// --- transformada analítica ---
omega = linspace(-10,10,1000);
F = -2*%i*sin(omega); // %i é a unidade imaginária no Scilab
// plot das partes real e imaginária
figure(2);
subplot(3,1,1);
plot(omega, real(F), 'b-');
xlabel('\omega');
ylabel('Re\{F(\omega)\}');
xtitle('Parte real de F(\omega)');
xgrid();
subplot(3,1,2);
plot(omega, imag(F), 'm-');
xlabel('\omega');
ylabel('Im\{F(\omega)\}');
xtitle('Parte imaginaria de F(\omega) = -2 sin(\omega)');
xgrid();
subplot(3,1,3);
plot(omega, abs(F), 'g-');
xlabel('\omega');
ylabel('|F(\omega)|');
xtitle('Magnitude de F(\omega) = 2|sin(\omega)|');
xgrid();
// opcional: plot da fase
figure(3);
phaseF = atan2(imag(F), real(F)); // atan2(y,x)
plot(omega, phaseF, 'k-');
xlabel('\omega');
ylabel('arg(F(\omega))');
xtitle('Fase de F(\omega)');
xgrid();
Observações de uso:
- No Scilab,
%ié a unidade imaginária (por isso no código usamos%i). - Como deltas são distribuições teóricas, no gráfico do tempo usamos “hastes” verticais e marcadores para representar a posição e amplitude dos impulsos (essa é a forma padrão de desenhar deltas em plots).
- A transformada foi usada na forma analítica
; o código plota sua parte real, imaginária, magnitude e fase.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (aplique aqui e em problemas semelhantes):
- Lembre:
na transformada vira . Isso resolve a maioria das questões com somas de deltas. - Combine linearidade e identidades de Euler para simplificar exponenciais em funções trigonométricas (ex.:
). - Se pedirem amplitude e fase, calcule magnitude com
e a fase com .
Resposta
Programa Scilab: código fornecido no Passo 5 (arquivo sugerido: plot_delta_fft.sci).