Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=\delta(t+1)+\delta(t-1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Escrever, numa tabela, a transformada de Fourier do sinal dado.
  2. Fazer um programa Scilab que plote tanto o sinal no tempo quanto a sua transformada.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O sinal é \;f(t)=\delta(t+1)+\delta(t-1)\;.
  • Não há ambiguidade sobre o sinal; é a soma de dois impulsos de Dirac localizados em t=-1 e t=1.
  • Não foi especificada outra convenção, então vamos usar a convenção usual (mais comum em sinais/controle/sinais e sistemas):
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
A partir disso temos que calcular F(\omega) e preparar o código para plotar f(t) (como impulsos discretos) e F(\omega) (função contínua de \omega).

Passo 2

Relembrando propriedades e fórmulas que preciso usar (explicação didática passo a passo):
  • Definição da transformada de Fourier (convenção que usaremos):
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
onde:
  • \;t\; é a variável de tempo (real),
  • \;\omega\; é a frequência angular (em rad/s),
  • i é a unidade imaginária.
  • Propriedade do impulso de Dirac (mais importante aqui): para qualquer função razoável g(t),
\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,\delta(t-a)\,dt = g(a).
Isto é, o impulso “pega” o valor da função no ponto onde o impulso está localizado.
  • Transformada de um impulso deslocado: aplicando a definição diretamente a f(t)=\delta(t-t_0),
\mathcal{F}\{\delta(t-t_0)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)\,e^{-i\omega t}\,dt = e^{-i\omega t_0}.
Explicando: usamos a propriedade do delta, com g(t)=e^{-i\omega t}, o integral resulta em g(t_0)=e^{-i\omega t_0}.
  • Linearidade: a transformada da soma é a soma das transformadas:
\mathcal{F}\{f_1(t)+f_2(t)\}=\mathcal{F}\{f_1\}+\mathcal{F}\{f_2\}.
Essas três ideias (definição, propriedade do delta e linearidade) são suficientes para resolver a questão.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao sinal dado, processando termo a termo:
O sinal é \;f(t)=\delta(t+1)+\delta(t-1)\;.
Trabalhamos cada impulso separadamente usando a fórmula da transformada de um impulso deslocado:
  • Para \delta(t+1) note que isso é \delta(t - (-1)), ou seja t_0=-1. Então
\mathcal{F}\{\delta(t+1)\}=e^{-i\omega(-1)}=e^{i\omega}.
  • Para \delta(t-1) temos t_0=1. Então
\mathcal{F}\{\delta(t-1)\}=e^{-i\omega(1)}=e^{-i\omega}.
Pela linearidade, a transformada total é a soma:
F(\omega)=e^{i\omega}+e^{-i\omega}.

Passo 4

Simplificar a expressão usando a identidade de Euler (útil para interpretar o resultado e para provas):
e^{i\omega}+e^{-i\omega}=2\cos(\omega).
Portanto, de forma real e simples:
F(\omega)=2\cos(\omega).
Comentário didático: isso faz sentido fisicamente — a soma de dois impulsos simetricamente deslocados produz uma transformada real e par (função de cosseno), porque os dois deslocamentos geram componentes complexas conjugadas que somam para dar um coseno.

Passo 5

Tabela pedida (sinal \times transformada). Uso uma tabela simples com duas colunas: sinal no tempo e sua transformada.
Sinal f(t) Transformada F(\omega)
\delta(t+1)+\delta(t-1) \;e^{i\omega}+e^{-i\omega}=2\cos(\omega)\;
(na tabela eu peguei diretamente o sinal do enunciado e apliquei a propriedade do delta + linearidade, como mostrado nos passos anteriores)

Passo 6

Programa Scilab para plotar o sinal no tempo (como impulsos) e a transformada F(\omega)=2\cos(\omega).
Vou explicar linha a linha logo após o código; copie e cole no Scilab e execute.
Scilab code:
// Plot do sinal f(t) = delta(t+1) + delta(t-1) (representado como stem/impulsos)
clf;
t = -2:0.01:2; // eixo de tempo para desenhar (contínuo para visual)
imp = zeros(t); // vetor de zeros
// marcamos impulsos aproximados: como spikes verticais para visualização
imp(sum(t<=-1+1e-6 & t>=-1-1e-6)) = 1; // tentativa de marcar posição exata (backup)
imp(find(abs(t+1)<0.01)) = 1; // marca região pequena perto de t=-1
imp(find(abs(t-1)<0.01)) = 1; // marca região pequena perto de t=1

subplot(2,1,1);
plot(t, imp, 'k-'); // linha preta para "base"
hold on;
stem([-1 1], [1 1], 'filled'); // desenha os impulsos discretos em t=-1 e t=1
title('Sinal no tempo: f(t) = \delta(t+1) + \delta(t-1)');
xlabel('t');
ylabel('amplitude');
xgrid();

// Plot da transformada F(omega) = 2*cos(omega)
w = -10:0.01:10; // eixo de frequência (omega)
F = 2*cos(w);

subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'b-');
title('Transformada de Fourier: F(\omega) = 2 cos(\omega)');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('F(\omega)');
xgrid();
Explicação prática do código:
  • Primeiro bloco: crio um eixo de tempo denso e uma representação visual dos impulsos. Como o Dirac não é representável numericamente, eu uso um plot com stem em -1 e 1 para mostrar os impulsos como setas/linhas verticalizadas.
  • stem([-1 1], [1 1], 'filled') desenha justamente os impulsos de amplitude 1 em -1 e 1.
  • Segundo bloco: construo um eixo de frequência \omega e avalio F(\omega)=2\cos(\omega) em cada ponto, plotando em seguida.
  • Faixas -10 a 10 em \omega são razoáveis para visualizar várias oscilações do cosseno; você pode ajustar para mais/menos resolução.
Dica para prova: ao representar impulsos num gráfico em papel, desenhe apenas setas verticais em t=-1 e t=1 com amplitude 1 (e anote que são deltas). Para a transformada, desenhe a função 2\cos(\omega) — mostra claramente que é real, par e oscilatória.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida (como checar no relógio da prova):
  • Ponto rápido de verificação: calcule a transformada de cada delta usando e^{-i\omega t_0} e some; se as potências exponenciais forem conjugadas (como aqui), espere um coseno real.
  • Outra verificação: calcule F(0). Substituindo \omega=0 na expressão final \;F(\omega)=2\cos(\omega)\;, obtemos F(0)=2\cos(0)=2. Isso faz sentido: F(0)=\int f(t)\,dt que é a área total do sinal no tempo; a área de cada delta de amplitude 1 é 1, soma 2 — bate certinho.

Resposta

\;F(\omega)=e^{i\omega}+e^{-i\omega}=2\cos(\omega)\;
Scilab program:
// Plot do sinal f(t) = delta(t+1) + delta(t-1) (representado como stem/impulsos)
clf;
t = -2:0.01:2; // eixo de tempo para desenhar (contínuo para visual)
imp = zeros(t); // vetor de zeros
// marcamos impulsos aproximados: como spikes verticais para visualização
imp(sum(t<=-1+1e-6 & t>=-1-1e-6)) = 1; // tentativa de marcar posição exata (backup)
imp(find(abs(t+1)<0.01)) = 1; // marca região pequena perto de t=-1
imp(find(abs(t-1)<0.01)) = 1; // marca região pequena perto de t=1

subplot(2,1,1);
plot(t, imp, 'k-'); // linha preta para "base"
hold on;
stem([-1 1], [1 1], 'filled'); // desenha os impulsos discretos em t=-1 e t=1
title('Sinal no tempo: f(t) = \delta(t+1) + \delta(t-1)');
xlabel('t');
ylabel('amplitude');
xgrid();

// Plot da transformada F(omega) = 2*cos(omega)
w = -10:0.01:10; // eixo de frequência (omega)
F = 2*cos(w);

subplot(2,1,2);
plot(w, F, 'b-');
title('Transformada de Fourier: F(\omega) = 2 cos(\omega)');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('F(\omega)');
xgrid();

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