Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações relevantes que temos: a função está definida para
(pressuposto padrão para Laplace) e o enunciado indica usar a tabela de transformadas. Não há outras funções ou parâmetros no enunciado.
Informações relevantes que temos: a função
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
(suficientemente bem comportada) define-se
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
em uma certa região (a chamada região de convergência). Aqui, sempre que eu usar a definição, vou explicitar as condições de convergência quando necessárias.
Passo 3
Na tabela há uma entrada padrão muito útil: a transformada de
. Vou demonstrar por que
para
inteiro não negativo e
. Para não ficar só na abstração, vou fazer o caso
passo a passo (é exatamente o que precisamos).
Calculemos
Usamos integração por partes repetida. A fórmula de integração por partes é
Escolha 1ª aplicação:
,
. Então
e
. Aplicando:
O termo de fronteira
vale
desde que
(o fator exponencial domina o polinômio quando
), e no
também dá
. Logo
Agora calcule
do mesmo modo. Tomando
,
obtemos
,
, então
novamente com o termo de fronteira nulo para
.
Calcule
. Com
,
vem
,
, então
pois
para
.
Substituindo para cima:
Portanto concluímos que
(Isto coincide com a fórmula geral
com
.)
Passo 4
Agora precisamos usar a propriedade de deslocamento na variável
(que é uma entrada comum da tabela): para qualquer função
com
e para qualquer constante
,
A demonstração rápida vem direto da definição:
A condição de convergência muda: se
converge para
, então
converge para
, isto é,
.
Passo 5
Aplique a propriedade ao nosso caso. Tomando
e
, sabemos por Passo 3 que
com região de convergência
. Pela propriedade de deslocamento,
A região de convergência desloca-se: devemos ter
, ou seja
.
Passo 6
Resumo final do procedimento: calculamos
por integração por partes e então usamos a propriedade de deslocamento para obter
com
. Você pode lembrar disso direto da tabela: entrada para
e a regra
desloca
.