Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é (assumimos
, que é o domínio usual para transformada de Laplace).
O objetivo é calcular .
Informações dadas: a função é
O objetivo é calcular
Passo 2
Vamos recordar a definição da transformada de Laplace (isto é importante para entender o que estamos fazendo). A definição é:
Aqui
é a variável do tempo (ou variável real não negativa),
é o parâmetro complexo da transformada e a integral converge apenas para valores de
em que essa integral for finita (essa região chama-se região de convergência).
Passo 3
Uma entrada da tabela que usamos frequentemente é a transformada de
. Ou seja, sabemos (e vamos demonstrar) que
Vou mostrar rapidamente por que isso vale, usando integração por partes para ficar bem claro como aplicar sem a tabela se precisar.
Passo 4
Cálculo de
por integração por partes. Considere
Escolhemos
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes,
Para
temos
e no
o termo é zero, então a primeira parcela é
. A segunda integral é
(novamente para
). Assim
Portanto
para
.
Passo 5
Agora precisamos lidar com o fator exponencial
. Existe uma propriedade muito útil (e simples) da transformada de Laplace: se
, então para qualquer constante
vale
Explicando em palavras: multiplicar a função no tempo por
corresponde a deslocar o argumento da transformada de
para
. A demonstração vem direto da definição:
Passo 6
Aplicando essa propriedade à nossa função. Tomamos
(cuja transformada é
) e
(porque
com
). Pela propriedade:
Substituindo
temos
A condição de convergência desloca-se também: como
exige
, para
precisamos de
, ou seja
.
Passo 7
Para fechar, faço uma verificação direta via integral (mesmo procedimento que usamos para
, só que com
substituído por
):
válido para
, i.e.,
. Pronto — deu certinho.