Considere um dipolo de meia onda sem perdas no espaço livre, com resistência de radiação \mathrm{R}_{\text {radiaçio }}=73 \Omegaç e máxima diretividade \mathrm{D}_{\text {max }}=1,64. Se a antena transporta uma corrente de amplitude 1 A :
(a) quanta potência total (em W) é radiada?
(b) Quanta potência é interceptada por uma abertura de 1 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{em} uma distância \mathrm{r}=1 \mathrm{~km} ?
A abertura está no plano equatorial e posicionada de forma direta em relação à antena. Considere uma densidade de potência uniforme na abertura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • Resistência de radiação: \mathrm{R}_{\text{radiação}} = 73\\ \Omegaçã.
  • Diretividade máxima: \mathrm{D}_{\text{max}} = 1{,}64.
  • A antena transporta uma corrente de amplitude (valor de pico) \;1\\ \mathrm{A}.
  • Abertura (aperture) com área A = 1\\ \mathrm{m}^2 situada a uma distância r = 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.
  • A abertura está no plano equatorial e posicionada de forma a receber a máxima radiação da antena (ou seja, na direção de máxima intensidade). O enunciado pede que se considere densidade de potência uniforme sobre a abertura.
Perguntas:
(a) Qual a potência total radiada (em W) pela antena?
(b) Qual a potência interceptada pela abertura de 1\\ \mathrm{m}^2 colocada a r=1\\ \mathrm{km} na direção de máxima radiação?

Passo 2

Entendendo como calcular a potência radiada a partir da resistência de radiação — conceito e fórmula.
Explicação didática: a “resistência de radiação” \mathrm{R}_{\text{radiação}}çã é um parâmetro que representa, em termos elétricos, a parte da resistência que converte a corrente no elemento da antena em potência radiada (como se fosse uma resistência real que dissipa potência, só que aqui a “dissipação” é radiação). Para corrente senoidal, a potência média radiada por essa resistência é dada por
P_{\text{rad}} = I_{\text{rms}}^{2}\,\mathrm{R}_{\text{radiação}}.çã
Aqui I_{\text{rms}} é a corrente eficaz (RMS) da excitação senoidal. Se o enunciado dá a amplitude (valor de pico) da corrente, I_{\text{peak}}, a relação entre pico e RMS para uma senoide é
I_{\text{rms}}=\frac{I_{\text{peak}}}{\sqrt{2}}.
Neste problema I_{\text{peak}} = 1\\ \mathrm{A}, logo
I_{\text{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Calcular numericamente a potência total radiada.
Substituindo na fórmula:
P_{\text{rad}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \cdot 73\\ \Omega.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} = \frac{1}{2}.
Então
P_{\text{rad}} = \frac{1}{2}\cdot 73 = 36{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação: com corrente de pico 1\\ \mathrm{A} numa meia-onda ideal sem perdas, a antena radiará 36{,}5\\ \mathrm{W} de potência média.

Passo 4

Entendendo diretividade, intensidade de radiação e densidade de potência — fórmulas que precisamos para a parte (b).
Conceito e fórmulas:
  • A intensidade de radiação U(\theta,\varphi) é a potência radiada por unidade de ângulo sólido (unidade: W/sr).
  • A diretividade \mathrm{D}(\theta,\varphi) relaciona U com a intensidade média isotrópica U_{\text{iso}} = P_{\text{rad}}/(4\pi) por
\mathrm{D}(\theta,\varphi) = \frac{U(\theta,\varphi)}{P_{\text{rad}}/(4\pi)}.
  • A intensidade máxima U_{\text{max}} corresponde a \mathrm{D}_{\text{max}}:
U_{\text{max}} = \frac{P_{\text{rad}}\\ \mathrm{D}_{\text{max}}}{4\pi}.
  • A densidade de potência (fluxo) na distância r na direção de máxima radiação é a intensidade dividida por r^{2}:
S_{\text{max}}(r) = \frac{U_{\text{max}}}{r^{2}} = \frac{P_{\text{rad}}\\ \mathrm{D}_{\text{max}}}{4\pi r^{2}}.
  • A potência interceptada por uma área A pequena, perpendicular à direção de propagação e com densidade de potência aproximadamente uniforme sobre ela, é
P_{\text{ap}} = S_{\text{max}}(r)\cdot A.
Observação aplicada: o enunciado diz que a abertura está no plano equatorial e posicionada de forma direta em relação à antena — isso corresponde à direção de máxima radiação de uma meia-onda dipolo, então usar \mathrm{D}_{\text{max}} = 1{,}64 é correto.

Passo 5

Calcular numericamente a densidade de potência em r=1000\\ \mathrm{m} e a potência interceptada pela área A=1\\ \mathrm{m}^{2}.
Primeiro calcular o numerador:
P_{\text{rad}}\\ \mathrm{D}_{\text{max}} = 36{,}5 \times 1{,}64 = 59{,}86\\ \mathrm{W}.
Agora o denominador (4\pi r^{2}):
4\pi r^{2} = 4\pi (1000)^{2} = 4\pi \times 10^{6} \approx 12{,}5663706\times 10^{6}.
Logo a densidade de potência na direção máxima é
S_{\text{max}} = \frac{59{,}86}{4\pi(1000)^{2}}\\ \mathrm{W/m^{2}} \approx 4{,}77\times 10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
(Arredondamento: 59{,}86/(12{,}566{,}37\times10^{6})\approx 4{,}7669\times10^{-6}.)
Potência interceptada pela área A=1\\ \mathrm{m}^{2}:
P_{\text{ap}} = S_{\text{max}}\cdot A \approx 4{,}77\times10^{-6}\\ \mathrm{W}.

Resposta

36{,}5\\ \mathrm{W}
4{,}77\times 10^{-6}\\ \mathrm{W}

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