Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo: f(t)=\left\{\begin{array}{cc}-1, & , 0 \leq t<1 \\\\ 1 & , t \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
O que o problema pede: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}\), a transformada de Laplace da função por partes
\[f(t)=\begin{cases} -1, & 0 \le t < 1,\\[4pt] 1, & t \ge 1. \end{cases}
Informações dadas: \;f(t)\] é uma função definida em dois ramos (constantes) separadas em \(t=1.
O objetivo final é obter uma expressão em termos de s para \mathcal{L}\{f(t)\}.]
Passo 2
Ideia prática para resolver (sem fazer conta ainda): escrever f(t)\) usando a função degrau unitário (Heaviside) \(\,u(t-a)\,\), porque a tabela da transformada de Laplace costuma trazer fórmulas para transformadas com deslocamento por degrau. Lembre que a função degrau é definida por
\[u(t-a)=\begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a. \end{cases}
Queremos uma combinação de funções simples e de degrau que reproduza os dois valores de (f(t)].]
Passo 3
Construção de f(t) com degrau: suponha escrever f(t)=A + B\,u(t-1) e determine A e B. Para 0\le t<1 temos u(t-1)=0, então f(t)=A deve ser -1, portanto A=-1. Para t\ge1 temos u(t-1)=1, então f(t)=A+B=-1+B deve ser 1. Logo -1+B=1\Rightarrow B=2. Conclusão:
f(t)=-1 + 2\,u(t-1).
Verificação rápida: se t<1 então f(t)=-1; se t\ge1 então f(t)=-1+2=1. Beleza — agora usamos propriedades da transformada.
Passo 4
Relembrando a definição e propriedades úteis (aquelas que normalmente estão na tabela):
Definição: