Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO com condições iniciais:
y'' - 2y' + 5y = 0,
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=3.
Ou seja, precisamos encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições no instante t=0.

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função y(t) (assumindo que y seja razoável para a transformada existir) é definida por
\mathcal{L}\{y\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como uma variável real maior que certa constante). Vou chamar \mathcal{L}\{y\}(s) por Y(s) para simplificar: Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s).
Propriedades que usaremos (explico por que):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a y_1 + b y_2\} = a\mathcal{L}\{y_1\} + b\mathcal{L}\{y_2\}.
  • Transformada de derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), então
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)
e
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; servem para transformar derivadas em expressões algébricas em s, que é o ponto forte desse método para PVIs.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Defino Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=3, temos:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 3 = s^{2}Y(s)-s-3,
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).

Passo 4

Agora transformo a equação diferencial completa. Como a equação é linear e homogênea:
\mathcal{L}\{y''-2y'+5y\}(s)=0.
Substituindo as expressões do Passo 3:
\bigl(s^{2}Y(s)-s-3\bigr)-2\bigl(sY(s)-1\bigr)+5Y(s)=0.
Vou organizar os termos em Y(s) e os termos constantes separadamente.

Passo 5

Faço a álgebra para isolar Y(s).
Primeiro expandindo e somando:
s^{2}Y(s)-s-3 -2sY(s)+2 +5Y(s)=0.
Agrupando os termos que têm Y(s) e os constantes:
\bigl(s^{2}-2s+5\bigr)Y(s) +(-s-3+2)=0.
Calculando o termo constante: -s-3+2=-s-1. Então
\bigl(s^{2}-2s+5\bigr)Y(s)-s-1=0.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}-2s+5\bigr)Y(s)=s+1,
Y(s)=\frac{s+1}{s^{2}-2s+5}.

Passo 6

Para preparar a inversa, completo o quadrado no denominador para reconhecer formas padrão. O denominador é
s^{2}-2s+5 = (s^{2}-2s+1)+4 = (s-1)^{2}+4.
Reescrevo o numerador em termos de s-1:
s+1 = (s-1)+2.
Assim:
Y(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+4} + \frac{2}{(s-1)^{2}+4}.
Esse passo é estratégico porque existem transformadas conhecidas que casam com essas frações; agora explico quais.

Passo 7

Lembrando as transformadas padrão (essas são fórmulas que é bom decorar ou saber reconhecer):
  • \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui temos a=1 e b=2 porque o denominador é (s-1)^{2}+2^{2}. Comparando:
  • O termo \dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+4} corresponde exatamente a \mathcal{L}\{e^{t}\cos(2t)\}(s).
  • O termo \dfrac{2}{(s-1)^{2}+4} corresponde exatamente a \mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}(s), já que b=2.
Portanto
Y(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\cos(2t)\}(s) + \mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}(s)
e, aplicando a transformada inversa,
y(t)=e^{t}\cos(2t)+e^{t}\sin(2t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr).

Passo 8

Faço uma verificação rápida das condições iniciais (serve para ganhar confiança):
Calculo y(0):
y(0)=e^{0}\bigl(\cos 0 + \sin 0\bigr)=1\cdot(1+0)=1,
ok. Calculo y'(t) para checar y'(0): usando derivada do produto,
y'(t)=e^{t}\bigl(\cos 2t+\sin 2t\bigr)+e^{t}\bigl(-2\sin 2t +2\cos 2t\bigr)=e^{t}\bigl(3\cos 2t - \sin 2t\bigr).
Logo
y'(0)=1\cdot(3\cdot 1 -0)=3,
ok — as condições iniciais batem.

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

Exercícios relacionados