Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO com condições iniciais:
com
Ou seja, precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições no instante
.
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
(assumindo que
seja razoável para a transformada existir) é definida por
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como uma variável real maior que certa constante). Vou chamar
por
para simplificar:
.
Propriedades que usaremos (explico por que):
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas: se
, então
e
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; servem para transformar derivadas em expressões algébricas em
, que é o ponto forte desse método para PVIs.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Defino
. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
e
, temos:
Passo 4
Agora transformo a equação diferencial completa. Como a equação é linear e homogênea:
Substituindo as expressões do Passo 3:
Vou organizar os termos em
e os termos constantes separadamente.
Passo 5
Faço a álgebra para isolar
.
Primeiro expandindo e somando:
Primeiro expandindo e somando:
Agrupando os termos que têm
e os constantes:
Calculando o termo constante:
. Então
Isolando
:
Passo 6
Para preparar a inversa, completo o quadrado no denominador para reconhecer formas padrão. O denominador é
Reescrevo o numerador em termos de
:
Assim:
Esse passo é estratégico porque existem transformadas conhecidas que casam com essas frações; agora explico quais.
Passo 7
Lembrando as transformadas padrão (essas são fórmulas que é bom decorar ou saber reconhecer):
-
. -
.
Aqui temos
e
porque o denominador é
. Comparando:
- O termo
corresponde exatamente a . - O termo
corresponde exatamente a , já que .
Portanto
e, aplicando a transformada inversa,
Passo 8
Faço uma verificação rápida das condições iniciais (serve para ganhar confiança):
Calculo :
Calculo
ok. Calculo
para checar
: usando derivada do produto,
Logo
ok — as condições iniciais batem.