Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{(S+2)\left(S^{2}+4\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{(S+2)\left(S^{2}+4\right)}\right\}.
Informações dadas:
o numerador é S, o denominador fatoriza como (S+2)(S^{2}+4). A tarefa é encontrar a função no tempo f(t) cuja transformada de Laplace é essa fração racional.

Passo 2

Estratégia escolhida: decompor a fração em frações parciais. Motivação curta (didática): frações parciais transformam uma expressão racional complicada em somas de termos cujas transformadas inversas são fórmulas conhecidas (por exemplo \frac{1}{S+a}, \frac{S}{S^{2}+a^{2}}, \frac{a}{S^{2}+a^{2}}). Aqui o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 3), então podemos aplicar diretamente frações parciais.

Passo 3

Postulo a decomposição da forma
\frac{S}{(S+2)(S^{2}+4)}=\frac{A}{S+2}+\frac{BS+C}{S^{2}+4},
porque o polo simples em S=-2 corresponde a um termo \frac{A}{S+2} e o polo quadrático S^{2}+4 exige um numerador linear BS+C.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por (S+2)(S^{2}+4) para obter uma identidade polinomial:
S = A(S^{2}+4) + (BS+C)(S+2).
Agora expando os termos do lado direito:
S = A S^{2} + 4A + (BS)(S+2) + C(S+2).
S = A S^{2} + 4A + B S^{2} + 2B S + C S + 2C.

Passo 5

Agrupando termos semelhantes em potências de S:
S = (A+B)S^{2} + (2B+C)S + (4A+2C).
Comparo coeficientes dos dois lados (do polinômio à esquerda há só 0\cdot S^{2}+1\cdot S+0):
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 2B + C = 1,\\[4pt] 4A + 2C = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema:
Da primeira equação \;B=-A.
Substituo na segunda: 2(-A)+C=1 -2A+C=1 C=1+2A.
Substituo C na terceira: 4A + 2(1+2A)=0 4A + 2 + 4A = 0 8A + 2 = 0 A = -\tfrac{1}{4}.
Então B = -A = \tfrac{1}{4} e C = 1 + 2A = 1 + 2(-\tfrac{1}{4}) = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Reescrevo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{S}{(S+2)(S^{2}+4)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{S+2} \;+\; \frac{1}{4}\cdot\frac{S}{S^{2}+4} \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{S^{2}+4}.
Agora uso pares de transformada de Laplace conhecidos:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{S+2},\qquad \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{S}{S^{2}+4},\qquad \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{S^{2}+4}.
Expliquei: em geral \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{S-a} (aqui a=-2), \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{S}{S^{2}+a^{2}} e \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{S^{2}+a^{2}}.

Passo 8

Aplico a transformada inversa termo a termo:
  • Para -\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{S+2} a inversa é -\dfrac{1}{4}e^{-2t}.
  • Para \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{S}{S^{2}+4} a inversa é \dfrac{1}{4}\cos(2t).
  • Para \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{S^{2}+4}: note que \dfrac{1}{S^{2}+4} corresponde a \dfrac{1}{2}\sin(2t), então multiplicando por \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{4}\sin(2t).
Somando os três termos obtemos a função no tempo
f(t) = -\frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{4}\cos(2t) + \frac{1}{4}\sin(2t).
Posso fatorar \tfrac{1}{4} para ficar mais bonito:
f(t)=\frac{1}{4}\big(\cos(2t)+\sin(2t)-e^{-2t}\big).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\big(\cos(2t)+\sin(2t)-e^{-2t}\big)

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