Usando a técnica de completar quadrados calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e objetivo claro:
- A integranda é a função
. - O denominador envolve a raiz de um polinômio quadrático em
: . - A técnica solicitada é completar quadrados (ou seja, reescrever o quadrático em forma de quadrado perfeito mais uma constante) para facilitar uma substituição trigonométrica ou uma mudança de variável simples.
- Nosso objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Vamos completar o quadrado no polinômio que está dentro da raiz:
.
Primeiro escrevo em ordem padrão:
Fatorando
dos termos com
:
Agora completamos o quadrado em
. A técnica de completar o quadrado: para
tomamos metade do coeficiente de
(que é
), ou seja
, e elevamos ao quadrado:
Substituindo de volta:
Distribuindo o
:
Por fim:
Passo 3
Com o resultado do passo anterior, a raiz fica mais simples:
É natural agora fazer a substituição de variável centrando na expressão
. Defino
Então
Também transformo o numerador:
Passo 4
Reescrevo a integral em
. Usando
e
:
Faço a constante
sair e separo a fração:
Simplificando constantes:
Agora temos duas integrais padrão.
Passo 5
Calculo a primeira integral
Uma forma rápida é observar que a derivada de
é
. Então tomo
,
, ou simplesmente noto que a derivada de
é
Portanto
Passo 6
Calculo a segunda integral
Isto é uma integral trigonométrica padrão: a primitiva é o arco-seno:
pois
.
Passo 7
Agora substituo os resultados no somatório do passo 4:
Ou seja
Voltando à variável original
com
:
Podemos expressar
em termos da raiz original para uma forma mais direta. Lembre-se que
portanto
Substituindo nessa expressão:
Assim a primitiva fica