Usando a técnica de completar quadrados calcule a integral
\int \frac{x+3}{\sqrt{3+4 x-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+3}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}\,dx.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A integranda é a função \dfrac{x+3}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}.
  • O denominador envolve a raiz de um polinômio quadrático em x: 3+4x-4x^{2}.
  • A técnica solicitada é completar quadrados (ou seja, reescrever o quadrático em forma de quadrado perfeito mais uma constante) para facilitar uma substituição trigonométrica ou uma mudança de variável simples.
  • Nosso objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x+3}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no polinômio que está dentro da raiz: 3+4x-4x^{2}.
Primeiro escrevo em ordem padrão:
3+4x-4x^{2} = -4x^{2}+4x+3.
Fatorando -4 dos termos com x:
-4x^{2}+4x+3 = -4\bigl(x^{2}-x\bigr)+3.
Agora completamos o quadrado em x^{2}-x. A técnica de completar o quadrado: para x^{2}-x tomamos metade do coeficiente de x (que é -1), ou seja -\tfrac{1}{2}, e elevamos ao quadrado:
x^{2}-x = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}.
Substituindo de volta:
-4\bigl(x^{2}-x\bigr)+3 = -4\Bigl(\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)+3.
Distribuindo o -4:
= -4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} +1 +3 = -4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} +4.
Por fim:
3+4x-4x^{2} = 4 -4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = 4\Bigl(1-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\Bigr).

Passo 3

Com o resultado do passo anterior, a raiz fica mais simples:
\sqrt{3+4x-4x^{2}} = \sqrt{4\bigl(1-(x-\tfrac{1}{2})^{2}\bigr)} = 2\sqrt{1-(x-\tfrac{1}{2})^{2}}.
É natural agora fazer a substituição de variável centrando na expressão x-\tfrac{1}{2}. Defino
u = x-\tfrac{1}{2}.
Então
x = u+\tfrac{1}{2},\qquad dx = du.
Também transformo o numerador:
x+3 = \bigl(u+\tfrac{1}{2}\bigr)+3 = u+\tfrac{7}{2}.

Passo 4

Reescrevo a integral em u. Usando \sqrt{3+4x-4x^{2}} = 2\sqrt{1-u^{2}} e dx=du:
\int \frac{x+3}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}\,dx = \int \frac{u+\tfrac{7}{2}}{2\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Faço a constante 1/2 sair e separo a fração:
= \frac{1}{2}\int \frac{u+\tfrac{7}{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du \;+\; \frac{1}{2}\int \frac{\tfrac{7}{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Simplificando constantes:
= \frac{1}{2}\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du \;+\; \frac{7}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Agora temos duas integrais padrão.

Passo 5

Calculo a primeira integral
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Uma forma rápida é observar que a derivada de 1-u^{2} é -2u. Então tomo t=1-u^{2}, dt=-2u\,du, ou simplesmente noto que a derivada de \sqrt{1-u^{2}} é
\frac{d}{du}\sqrt{1-u^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{1-u^{2}}}\cdot(-2u)= -\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Portanto
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = -\sqrt{1-u^{2}} + C.

Passo 6

Calculo a segunda integral
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Isto é uma integral trigonométrica padrão: a primitiva é o arco-seno:
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = \arcsin(u) + C,
pois \dfrac{d}{du}\arcsin(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 7

Agora substituo os resultados no somatório do passo 4:
\frac{1}{2}\int \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du \;+\; \frac{7}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\sqrt{1-u^{2}}\bigr) + \frac{7}{4}\arcsin(u) + C.
Ou seja
= -\frac{1}{2}\sqrt{1-u^{2}} + \frac{7}{4}\arcsin(u) + C.
Voltando à variável original x com u=x-\tfrac{1}{2}:
= -\frac{1}{2}\sqrt{1-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}} + \frac{7}{4}\arcsin\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C.
Podemos expressar \sqrt{1-(x-\tfrac{1}{2})^{2}} em termos da raiz original para uma forma mais direta. Lembre-se que
\sqrt{3+4x-4x^{2}} = 2\sqrt{1-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}},
portanto
\sqrt{1-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{3+4x-4x^{2}}.
Substituindo nessa expressão:
-\frac{1}{2}\sqrt{1-\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3+4x-4x^{2}} = -\frac{1}{4}\sqrt{3+4x-4x^{2}}.
Assim a primitiva fica
-\frac{1}{4}\sqrt{3+4x-4x^{2}} + \frac{7}{4}\arcsin\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{4}\sqrt{3+4x-4x^{2}}+\frac{7}{4}\arcsin\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)+C

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