Exercício 1: Verifique se a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\arctan (n)}{n^{0,1}}. converge (Use o Teste da Comparação e justifique cada passo!)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{0,1}}
converge. Informações relevantes dadas ou óbvias a partir do enunciado:
  • A soma começa em n=3.
  • Para todo n\ge 3 temos \arctan(n)>0 (a função \arctan é positiva para argumentos positivos).
  • \arctan(x) é crescente, portanto para n\ge 3 vale \arctan(n)\ge \arctan(3).
  • O objetivo é usar o Teste da Comparação (comparar com uma série conhecida) e justificar cada passo.

Passo 2

Vou lembrar (e ensinar) o que é o Teste da Comparação que vou usar: seja (a_n) e (b_n) sequências com termos não-negativos.
  • Se existir N tal que, para todo n\ge N, 0\le a_n \le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • O contrapositivo útil para divergência: se existir N tal que, para todo n\ge N, 0\le b_n \le a_n e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
Explicando em palavras: comparar significa estabelecer uma desigualdade entre os termos da série que nos permita transportar o conhecimento sobre convergência/divergência da série comparadora para a série original.

Passo 3

Verificação de sinais e uma desigualdade simples que já nos dá uma comparação direta:
  • Para todo n\ge 3 temos \arctan(n)\ge \arctan(3)>0 por monotonicidade de \arctan.
  • Portanto, para n\ge 3,
\frac{\arctan(n)}{n^{0,1}} \ge \frac{\arctan(3)}{n^{0,1}}.
Aqui definimos a_n=\dfrac{\arctan(n)}{n^{0,1}} e b_n=\dfrac{\arctan(3)}{n^{0,1}}. Note que b_n é apenas uma constante positiva \arctan(3) multiplicando n^{-0,1}.

Passo 4

Agora tratamos a série comparadora \sum b_n=\arctan(3)\sum_{n=3}^{\infty} n^{-0,1}.
  • Como \arctan(3) é constante positiva, o comportamento de \sum b_n é o mesmo de \sum n^{-0,1}.
  • Vou mostrar que \sum_{n=3}^{\infty} n^{-0,1} diverge. Para isso uso uma comparação com a série harmônica \sum n^{-1}, que é conhecida por divergir.
  • Para todo n\ge 1 temos
n^{-0,1} = \frac{1}{n^{0,1}} \ge \frac{1}{n^{1}} = n^{-1},
porque n^{0,1}\le n^{1} quando n\ge 1 e 0,1<1. (Uma forma rápida de ver: \dfrac{n^{-0,1}}{n^{-1}}=n^{1-0,1}=n^{0,9}\ge 1.)
  • Como n^{-0,1}\ge n^{-1} e \sum n^{-1} diverge (série harmônica), pela comparação temos que \sum n^{-0,1} também diverge.
  • Multiplicar por \arctan(3)>0 não altera a divergência, logo \sum b_n=\arctan(3)\sum n^{-0,1} diverge.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação (versão para divergência) agora:
  • Para todo n\ge 3 temos 0\le b_n \le a_n (em termos mais diretos: \dfrac{\arctan(3)}{n^{0,1}}\le \dfrac{\arctan(n)}{n^{0,1}}).
  • Como \sum b_n diverge (passo anterior), a condição do teste diz que \sum a_n também diverge.
  • Conclusão: a série dada não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{0,1}} diverge.

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