Exercício 1: Verifique se a série
. converge (Use o Teste da Comparação e justifique cada passo!)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge. Informações relevantes dadas ou óbvias a partir do enunciado:
- A soma começa em
. - Para todo
temos (a função é positiva para argumentos positivos). -
é crescente, portanto para vale . - O objetivo é usar o Teste da Comparação (comparar com uma série conhecida) e justificar cada passo.
Passo 2
Vou lembrar (e ensinar) o que é o Teste da Comparação que vou usar: seja
e
sequências com termos não-negativos.
- Se existir
tal que, para todo , e converge, então também converge. - O contrapositivo útil para divergência: se existir
tal que, para todo , e diverge, então diverge.
Explicando em palavras: comparar significa estabelecer uma desigualdade entre os termos da série que nos permita transportar o conhecimento sobre convergência/divergência da série comparadora para a série original.
Passo 3
Verificação de sinais e uma desigualdade simples que já nos dá uma comparação direta:
- Para todo
temos por monotonicidade de . - Portanto, para
,
Aqui definimos
e
. Note que
é apenas uma constante positiva
multiplicando
.
Passo 4
Agora tratamos a série comparadora
.
- Como
é constante positiva, o comportamento de é o mesmo de . - Vou mostrar que
diverge. Para isso uso uma comparação com a série harmônica , que é conhecida por divergir. - Para todo
temos
porque
quando
e
. (Uma forma rápida de ver:
.)
- Como
e diverge (série harmônica), pela comparação temos que também diverge. - Multiplicar por
não altera a divergência, logo diverge.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação (versão para divergência) agora:
- Para todo
temos (em termos mais diretos: ). - Como
diverge (passo anterior), a condição do teste diz que também diverge. - Conclusão: a série dada não converge, ou seja, diverge.
Resposta
A série
diverge.