Resculatio da Protema.RP

Encontre a área da região S limitada pelas curvas y-x=6, y-x^{3}=0 e 2 y+x=0.

Passo 1

O problema pede: encontrar a área da região S limitada pelas três curvas dadas. As curvas fornecidas no enunciado são:
y-x=6,\qquad y-x^{3}=0,\qquad 2y+x=0.
Lista de informações relevantes do enunciado:
y=x+6,\qquad y=x^{3},\qquad y=-\tfrac{x}{2}.
A tarefa é determinar a região fechada limitada por estas três curvas e calcular a sua área.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre cada par de curvas (esses pontos serão os vértices da região limitada).
Interseção de y=x+6 com y=x^{3}. Igualando:
x^{3}=x+6 \quad\Rightarrow\quad x^{3}-x-6=0.
Testando raízes inteiras, x=2 é raiz porque 2^{3}-2-6=8-2-6=0. Fazendo a divisão polinomial obtemos
x^{3}-x-6=(x-2)(x^{2}+2x+3).
O quadrático x^{2}+2x+3 tem discriminante \Delta=4-12=-8<0, logo só gera raízes complexas. Assim há uma única interseção real:
x=2,\qquad y=2+6=8.
Ponto: (2,8).
Interseção de y=x^{3} com y=-\tfrac{x}{2}. Igualando:
x^{3}=-\tfrac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad x^{3}+\tfrac{x}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x\left(x^{2}+\tfrac{1}{2}\right)=0.
As soluções reais são x=0 (as x^{2}+\tfrac{1}{2}>0 não tem raiz real). Então
x=0,\qquad y=0^{3}=0.
Ponto: (0,0).
Interseção de y=x+6 com y=-\tfrac{x}{2}. Igualando:
x+6=-\tfrac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad 2x+12=-x\quad\Rightarrow\quad 3x=-12\quad\Rightarrow\quad x=-4.
Então
x=-4,\qquad y=-4+6=2.
Ponto: (-4,2).
Resumo dos vértices da região: (-4,2),\\ (0,0),\\ (2,8).

Passo 3

Agora vamos entender a forma da região S. Os três vértices conectam-se pelas curvas dadas:
  • segmento da reta y=-\tfrac{x}{2} entre (-4,2) e (0,0);
  • arco da curva y=x^{3} entre (0,0) e (2,8);
  • segmento da reta y=x+6 entre (2,8) e (-4,2).
Para calcular a área, usamos a ideia básica de integrais: se numa faixa vertical, entre x=a e x=b, a fronteira superior da região é y_{\text{top}}(x) e a fronteira inferior é y_{\text{bot}}(x), a área é
\text{Area}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui é conveniente dividir a integração em dois intervalos de x porque a curva inferior muda em x=0: para x\in[-4,0] a região é limitada por duas retas; para x\in[0,2] a região é limitada pela reta y=x+6 em cima e pela cúbica y=x^{3} em baixo.

Passo 4

Precisamos identificar explicitamente, em cada intervalo, quais funções são topo e fundo.
Para x\in[-4,0]:
  • y_{1}(x)=x+6. Em x=-2 vale y_{1}(-2)=4.
  • y_{2}(x)=-\tfrac{x}{2}. Em x=-2 vale y_{2}(-2)=1.
  • y_{3}(x)=x^{3}. Em x=-2 vale y_{3}(-2)=-8.
    Logo, para x\in[-4,0] temos y_{\text{top}}(x)=x+6 e y_{\text{bot}}(x)=-\tfrac{x}{2} (a cúbica fica bem abaixo).
Para x\in[0,2]:
  • y_{1}(x)=x+6. Em x=1 vale 7.
  • y_{3}(x)=x^{3}. Em x=1 vale 1.
  • y_{2}(x)=-\tfrac{x}{2} é negativo para x>0, fora da região entre vértices.
    Logo, para x\in[0,2] temos y_{\text{top}}(x)=x+6 e y_{\text{bot}}(x)=x^{3}.

Passo 5

Escrevemos a área como soma de duas integrais (cada uma com top menos bot):
\text{Area}=\int_{-4}^{0}\bigl((x+6)-(-\tfrac{x}{2})\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl((x+6)-x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos a primeira integral com calma.
Simplificando o integrando:
(x+6)-\bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)=x+6+\tfrac{x}{2}=\tfrac{3}{2}x+6.
Antiderivada de \tfrac{3}{2}x+6 em relação a x é
\int\left(\tfrac{3}{2}x+6\right)dx=\tfrac{3}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}+6x=\tfrac{3}{4}x^{2}+6x.
Avaliar entre -4 e 0:
\Bigl[\tfrac{3}{4}x^{2}+6x\Bigr]_{-4}^{0}=\bigl(\tfrac{3}{4}\cdot 0^{2}+6\cdot 0\bigr)-\bigl(\tfrac{3}{4}\cdot(-4)^{2}+6\cdot(-4)\bigr).
Calcule o termo em x=-4:
\tfrac{3}{4}\cdot 16 + 6\cdot(-4)=12-24=-12.
Portanto a primeira integral vale
0-(-12)=12.

Passo 7

Calculamos a segunda integral.
Integrando (x+6)-x^{3}:
\int_{0}^{2}\bigl(x+6-x^{3}\bigr)\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+6x-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2}.
Avaliar em x=2:
\tfrac{2^{2}}{2}+6\cdot 2-\tfrac{2^{4}}{4}= \tfrac{4}{2}+12-\tfrac{16}{4}=2+12-4=10.
Em x=0 o valor é 0. Logo a segunda integral vale 10.

Passo 8

Somamos as duas parcelas obtidas:
\text{Area}=12+10=22.
Portanto a área da região S é 22 unidades de área.

Resposta

\,22\,

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