Resculatio da Protema.RP
Encontre a área da região
limitada pelas curvas
.
Passo 1
O problema pede: encontrar a área da região
limitada pelas três curvas dadas. As curvas fornecidas no enunciado são:
Lista de informações relevantes do enunciado:
A tarefa é determinar a região fechada limitada por estas três curvas e calcular a sua área.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre cada par de curvas (esses pontos serão os vértices da região limitada).
Interseção de
com
. Igualando:
Testando raízes inteiras,
é raiz porque
. Fazendo a divisão polinomial obtemos
O quadrático
tem discriminante
, logo só gera raízes complexas. Assim há uma única interseção real:
Ponto:
.
Interseção de
com
. Igualando:
As soluções reais são
(as
não tem raiz real). Então
Ponto:
.
Interseção de
com
. Igualando:
Então
Ponto:
.
Resumo dos vértices da região:
.
Passo 3
Agora vamos entender a forma da região
. Os três vértices conectam-se pelas curvas dadas:
- segmento da reta
entre e ; - arco da curva
entre e ; - segmento da reta
entre e .
Para calcular a área, usamos a ideia básica de integrais: se numa faixa vertical, entre
e
, a fronteira superior da região é
e a fronteira inferior é
, a área é
Aqui é conveniente dividir a integração em dois intervalos de
porque a curva inferior muda em
: para
a região é limitada por duas retas; para
a região é limitada pela reta
em cima e pela cúbica
em baixo.
Passo 4
Precisamos identificar explicitamente, em cada intervalo, quais funções são topo e fundo.
Para
:
-
. Em vale . -
. Em vale . -
. Em vale .
Logo, paratemos e (a cúbica fica bem abaixo).
Para
:
-
. Em vale . -
. Em vale . -
é negativo para , fora da região entre vértices.
Logo, paratemos e .
Passo 5
Escrevemos a área como soma de duas integrais (cada uma com top menos bot):
Passo 6
Calculamos a primeira integral com calma.
Simplificando o integrando:
Antiderivada de
em relação a
é
Avaliar entre
e
:
Calcule o termo em
:
Portanto a primeira integral vale
Passo 7
Calculamos a segunda integral.
Integrando
:
Avaliar em
:
Em
o valor é
. Logo a segunda integral vale
.
Passo 8
Somamos as duas parcelas obtidas:
Portanto a área da região
é
unidades de área.