Usando a técnica de integração por partes, calcule as integrais:
I=\int x e^{k x} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
I=\int x e^{k x}\,dx,
onde x é a variável de integração e k é uma constante (pode ser qualquer número real). As informações relevantes do enunciado são: a função integrada é o produto de x por e^{k x} e a técnica solicitada é integração por partes.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e entender a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida de x,
  • dv é o restante do integrando multiplicado por dx,
  • du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx (ou seja, du = u'(x)\,dx),
  • v é uma primitiva de dv (ou seja, v=\int dv).
A ideia é escolher u de forma que du seja mais simples que u e que possamos integrar dv facilmente para obter v. Um truquezinho prático (útil na prova) é lembrar que polinômios diminuem quando derivados, então geralmente pegamos u como o polinômio e dv como o exponencial ou trigonométrico.

Passo 3

Aplicando esse raciocínio ao nosso integrando x e^{k x}, escolhemos:
u = x,\qquad dv = e^{k x}\,dx.
Justificativa: u=x é um polinômio simples cuja derivada fica ainda mais simples ( du será apenas dx). Já dv=e^{k x}\,dx é fácil de integrar para obter v.

Passo 4

Calculamos du e v:
  • Derivada de u: du = d(x) = 1\cdot dx = dx.
  • Integral de dv: precisamos achar v=\int e^{k x}\,dx. Sabemos que, para k\neq 0,
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k} e^{k x} + C.
Então tomamos
v = \frac{1}{k} e^{k x}\qquad\text{(válido para \(k\neq 0\)).}á

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x e^{k x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtemos (para k\neq 0):
\int x e^{k x}\,dx = x\cdot\frac{1}{k} e^{k x} - \int \frac{1}{k} e^{k x}\cdot dx.

Passo 6

A integral restante é simples. Fatoramos 1/k e integramos e^{k x}:
\int x e^{k x}\,dx = \frac{x e^{k x}}{k} - \frac{1}{k}\int e^{k x}\,dx = \frac{x e^{k x}}{k} - \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{k} e^{k x} + C,
onde C é a constante de integração. Simplificando:
\int x e^{k x}\,dx = \frac{x e^{k x}}{k} - \frac{e^{k x}}{k^{2}} + C.

Passo 7

Podemos colocar a resposta numa forma factorizada que às vezes é mais bonita:
\int x e^{k x}\,dx = e^{k x}\left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^{2}}\right) + C = \frac{e^{k x}(k x - 1)}{k^{2}} + C,
válido para k\neq 0.

Passo 8

Devemos tratar o caso especial k=0. Se k=0 então e^{k x}=e^{0}=1 e a integral vira
\int x\cdot 1\,dx = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Observação útil (para a prova): a expressão \dfrac{e^{k x}(k x - 1)}{k^{2}} tem limite quando k\to 0 igual a \dfrac{x^{2}}{2}, então as duas formas são compatíveis no limite.

Passo 9

Podemos verificar muito rapidamente derivando a antiderivada que encontramos (check rápido): se tomarmos F(x)=\dfrac{e^{k x}(k x - 1)}{k^{2}} e derivarmos, usando regra do produto e cadeia, obtemos F'(x)=x e^{k x}. Isso confirma que a primitiva está correta (para k\neq 0).

Resposta

\displaystyle \int x e^{k x}\,dx = \frac{e^{k x}(k x - 1)}{k^{2}} + C (para k\neq 0).
\displaystyle \int x e^{k x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C (para k=0).

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