Usando a técnica de integração por partes, calcule as integrais:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
onde
é a variável de integração e
é uma constante (pode ser qualquer número real). As informações relevantes do enunciado são: a função integrada é o produto de
por
e a técnica solicitada é integração por partes.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e entender a fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde:
-
é uma função escolhida de , -
é o restante do integrando multiplicado por , -
é a derivada de em relação a multiplicada por (ou seja, ), -
é uma primitiva de (ou seja, ).
A ideia é escolher
de forma que
seja mais simples que
e que possamos integrar
facilmente para obter
. Um truquezinho prático (útil na prova) é lembrar que polinômios diminuem quando derivados, então geralmente pegamos
como o polinômio e
como o exponencial ou trigonométrico.
Passo 3
Aplicando esse raciocínio ao nosso integrando
, escolhemos:
Justificativa:
é um polinômio simples cuja derivada fica ainda mais simples (
será apenas
). Já
é fácil de integrar para obter
.
Passo 4
Calculamos
e
:
- Derivada de
: . - Integral de
: precisamos achar . Sabemos que, para ,
Então tomamos
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
obtemos (para
):
Passo 6
A integral restante é simples. Fatoramos
e integramos
:
onde
é a constante de integração. Simplificando:
Passo 7
Podemos colocar a resposta numa forma factorizada que às vezes é mais bonita:
válido para
.
Passo 8
Devemos tratar o caso especial
. Se
então
e a integral vira
Observação útil (para a prova): a expressão
tem limite quando
igual a
, então as duas formas são compatíveis no limite.
Passo 9
Podemos verificar muito rapidamente derivando a antiderivada que encontramos (check rápido): se tomarmos
e derivarmos, usando regra do produto e cadeia, obtemos
. Isso confirma que a primitiva está correta (para
).