Calcule os limites abaixo usando a Regra de L’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{5}-x^{2}+x-1}{x^{10}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{5}-x^{2}+x-1}{x^{10}-1}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio x^{5}-x^{2}+x-1 e o denominador é o polinômio x^{10}-1. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a 1?

Passo 2

Primeiro passo prático: avaliar numerador e denominador em x=1 para ver se temos uma forma indeterminada.
\text{numerador em }1: \;1^{5}-1^{2}+1-1 = 1-1+1-1 = 0.
\text{denominador em }1: \;1^{10}-1 = 1-1 = 0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso autoriza o uso da Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam nas proximidades de 1, o que é verdade para polinômios).

Passo 3

Breve explicação da Regra de L’Hôpital (de forma prática): se \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty} e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (com g'(x)\neq 0 próximo de a salvo possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando esse último limite existir. No nosso caso podemos aplicar porque f e g são polinômios (deriváveis em todo lugar).

Passo 4

Definimos f(x)=x^{5}-x^{2}+x-1 e g(x)=x^{10}-1. Vamos derivar termo a termo usando a regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(x\big)-\frac{d}{dx}(1)
f'(x)=5x^{4}-2x+1.
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{10}\big)-\frac{d}{dx}(1)=10x^{9}.

Passo 5

Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{5}-x^{2}+x-1}{x^{10}-1} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{5x^{4}-2x+1}{10x^{9}}.
Agora avaliamos o novo quociente em x=1 (já que não é mais indeterminado):
\text{numerador em }1: \;5\cdot1^{4}-2\cdot1+1 = 5-2+1 = 4.
\text{denominador em }1: \;10\cdot1^{9} = 10.
Logo o limite vale \dfrac{4}{10}.

Passo 6

Simplificando a fração \dfrac{4}{10} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Pronto — chegamos ao valor final do limite.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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