Calcule os limites abaixo usando a Regra de L’Hôpital:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio
. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende a
?
Passo 2
Primeiro passo prático: avaliar numerador e denominador em
para ver se temos uma forma indeterminada.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso autoriza o uso da Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam nas proximidades de
, o que é verdade para polinômios).
Passo 3
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (de forma prática): se
dá
ou
e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(com
próximo de
salvo possivelmente em
), então
quando esse último limite existir. No nosso caso podemos aplicar porque
e
são polinômios (deriváveis em todo lugar).
Passo 4
Definimos
e
. Vamos derivar termo a termo usando a regra do poder: a derivada de
é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Passo 5
Pela Regra de L’Hôpital,
Agora avaliamos o novo quociente em
(já que não é mais indeterminado):
Logo o limite vale
.
Passo 6
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Pronto — chegamos ao valor final do limite.