Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo.
|x-2|-|x-5|>x

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução da inequação
|x-2| - |x-5| > x
O conteúdo é inequação com valores absolutos. Para resolvê-la, vamos estudar em quais regiões os módulos mudam de expressão, usando os pontos críticos x=2 e x=5.

Passo 2

Dividimos o domínio em três intervalos onde cada módulo se expande de forma linear:
(-infty,2), [2,5) e [5,infty).

Passo 3

Caso x<2:
Temos |x-2| = 2-x e |x-5| = 5-x. Logo
|x-2| - |x-5| = (2-x) - (5-x) = -3
A inequação vira
-3 > x,
isto é, x < -3. Como esse resultado também deve satisfazer x<2, mantemos x< -3.

Passo 4

Caso 2 <= x < 5:
Temos |x-2| = x-2 e |x-5| = 5-x. Logo
|x-2| - |x-5| = (x-2) - (5-x) = 2x - 7
A inequação vira
2x - 7 > x Longrightarrow x > 7
Não há x que seja simultaneamente 2 <= x < 5 e x>7. Logo, nenhuma solução aqui.

Passo 5

Caso x >= 5:
Temos |x-2| = x-2 e |x-5| = x-5. Logo
|x-2| - |x-5| = (x-2) - (x-5) = 3
A inequação vira
3 > x,
isto é, x<3. Não há x que seja simultaneamente x>=5 e x<3. Logo, nenhuma solução aqui.

Passo 6

Unindo os resultados de todos os casos, a única parte onde a inequação é satisfeita é
x < -3

Resposta

(-infty, -3)

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