Exercício 4. (O objetivo deste exercício é mostrar que muitas equações diferenciais são na verdade uma forma disfarçada da equação de Bessel.) Escrevendo a equação de Bessel na forma
z^2 d^2 wd z^2+z d wd z+(z^2-p^2) w=0
mostre que com a substituição de variável z=a x^b e w=y x^c, para a, b e c constantes, a equação se transforma em
x^2 d^2 yd x^2+(2 c+1) x d yd x+(a^2 b^2 x^2 b+(c^2-p^2 b^2)) y=0

Passo 1

O enunciado parte da equação de Bessel
z^2d^2wdz^2 + zdwdz + l(z^2-p^2r)w = 0
e pede para mostrar que, com as substituições
z = a,x^b, w = x^cy,
essa equação em z,w passa a ser
x^2d^2ydx^2 + (2c+1),xdydx + l(a^2b^2x^2b + (c^2-p^2b^2)r)y = 0
Para isso vamos usar o método de mudança de variável e a regra da cadeia para calcular dwdz e d^2wdz^2 em termos de derivadas de y em x.

Passo 2

Calculemos primeiro
dzdx = a,b,x^b-1, dwdx = ddxl(x^cyr) = c,x^c-1y + x^cy'
Logo, pela regra da cadeia,
dwdz = dwdxdzdx = c,x^c-1y + x^cy'a,b,x^b-1 = 1a b,x^,c-b,(c,y + x,y')

Passo 3

Agora diferenciamos dw/dz em relação a z. Primeiro achamos a derivada em x:
ddxl(dwdzr) = 1a b ddxl[x^c-b(c,y + x,y')r]
Usando a regra do produto e somando termos, chega-se a
ddxl(dwdzr) = 1a b, x^,c-b-1l[c(c-b),y + (2c - b + 1)x,y' + x^2y''r]
Finalmente,
d^2wdz^2 = ddx(dw/dz)dz/dx = 1a b, x^,c-b-1l[c(c-b)y + (2c - b + 1)x,y' + x^2y''r]a b,x^b-1 = 1a^2b^2,x^,c-2bl[c(c-b)y + (2c - b + 1)x,y' + x^2y''r]

Passo 4

Substituímos em cada termo da equação de Bessel:
z^2d^2wdz^2 = a^2x^2b,1a^2b^2x^c-2bl[cdotsr] = x^cb^2l[c(c-b)y + (2c - b + 1)x,y' + x^2y''r],
zdwdz = a,x^b,1a bx^c-b(c,y + x,y') = x^cb(c,y + x,y'),
(z^2-p^2)w = (a^2x^2b-p^2),x^cy
Somando-os e multiplicando toda a equação por b^2/x^c, obtemos
x^2y'' + (2c+1),x,y' + l(a^2b^2x^2b + c^2 - p^2b^2r)y = 0

Resposta

x^2d^2ydx^2 + (2c+1),xdydx + l(a^2b^2x^2b + (c^2-p^2b^2)r)y = 0

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