Exercício 4. (O objetivo deste exercício é mostrar que muitas equações diferenciais são na verdade uma forma disfarçada da equação de Bessel.) Escrevendo a equação de Bessel na forma
mostre que com a substituição de variável
e
, para
e
constantes, a equação se transforma em
Passo 1
O enunciado parte da equação de Bessel
e pede para mostrar que, com as substituições
essa equação em
passa a ser
Para isso vamos usar o método de mudança de variável e a regra da cadeia para calcular
e
em termos de derivadas de
em
.
Passo 2
Calculemos primeiro
Logo, pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora diferenciamos
em relação a
. Primeiro achamos a derivada em
:
Usando a regra do produto e somando termos, chega-se a
Finalmente,
Passo 4
Substituímos em cada termo da equação de Bessel:
Somando-os e multiplicando toda a equação por
, obtemos