Usando o teorema de convergência das integrais, determine se a integral integral0^infty f(x) d x converge ou diverge para f(x) dada a seguir:
f(x)=cos (x) e^-x.

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral0^inftyf(x),dx=integral0^inftycos(x)e^-x,dx
O conteúdo aqui é convergência de integrais impróprias e vamos usar o teste de comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Observamos que
|f(x)|=|cos(x)e^-x|=|cos(x)|,e^-x<= e^-x,
jeito que podemos comparar com a função guia g(x)=e^-x. Sabemos que
integral0^inftye^-x,dx=1
ou seja, a integral de g converge.

Passo 3

Pelo teste de comparação absoluta, como |f(x)|<= g(x) e integral0^inftyg(x),dx, concluímos que integral0^infty|f(x)|,dx. Logo, a integral original converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 4

Para encontrar o valor, podemos usar a fórmula conhecida
integral0^inftye^-axcos(bx),dx=aa^2+b^2,
com a=1 e b=1. Assim,
integral0^inftye^-xcos(x),dx=11^2+1^2=12

Resposta

A integral converge (convergência absoluta) e vale 1/2.

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