Usando o teorema de convergência das integrais, determine se a integral integral0^infty f(x) d x converge ou diverge para f(x) dada a seguir:
f(x)=x^-2 exp (-x);

Passo 1

A gente tem a integral imprópria integral0^inftyf(x),dx com f(x)=x^-2e^-x. O conteúdo aqui é o teste de convergência de integrais impróprias, e para resolver vamos dividir o intervalo em (0,1] e [1,infty) e usar testes de comparação apropriados.

Passo 2

Para x>=1, note que x^-2<=1, logo
f(x)=x^-2e^-x<= e^-x.
Como a integral integral1^inftye^-x,dx converge (ela vale e^-1), concluímos que
integral1^inftyx^-2e^-x,dx também converge por comparação.

Passo 3

Agora, para 0, temos e^-x>= e^-1, então
f(x)=x^-2e^-x>= e^-1x^-2
Mas a integral integral0^1x^-2,dx diverge (é um caso-p com p=2>1), o que faz
integral0^1x^-2e^-x,dx divergir também.

Passo 4

Como a parte de [0,1] diverge, mesmo que a de [1,infty) converja, a integral original integral0^inftyx^-2e^-x,dx diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados