Calcule a distância percorrida por uma partícula entre os instantes t=0 e t=4, se sua posição P(x, y) no instante t vem dada por: x=12 t^2 e y=13(2 t+1)^3 / 2.

Passo 1

Bora lá! A gente quer achar a distância percorrida por uma partícula de um movimento plano, entre t=0 e t=4. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva paramétrica, e para isso vamos usar a fórmula
s=integralt1^t2raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt
ou seja, precisamos das derivadas x’(t) e y’(t).

Passo 2

Primeiro, derivamos as componentes:
Para x=\frac12t^2, temos
dxdt=t
Para y=\frac13(2t+1)^{3/2}, aplicamos a regra da cadeia:
dydt=13cdot32(2t+1)^1/2cdot2=(2t+1)^1/2

Passo 3

Agora montamos a velocidade escalar (módulo da velocidade):
v(t)=raizl(tr)^2+l((2t+1)^1/2r)^2 = raizt^2+2t+1 = raiz(t+1)^2
Como t+1 é positivo em [0,4], temos v(t)=t+1.

Passo 4

Por fim, integramos v(t) de 0 a 4:
s=integral0^4(t+1),dt=l[tfrac12t^2+tr]0^4=l(8+4r)-0=12

Resposta

12

Exercícios relacionados