Calcule a distância percorrida por uma partícula entre os instantes
e
, se sua posição
no instante
vem dada por:
e
.
Passo 1
Bora lá! A gente quer achar a distância percorrida por uma partícula de um movimento plano, entre t=0 e t=4. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva paramétrica, e para isso vamos usar a fórmula
ou seja, precisamos das derivadas x’(t) e y’(t).
Passo 2
Primeiro, derivamos as componentes:
Para x=\frac12t^2, temos
Para x=\frac12t^2, temos
Para y=\frac13(2t+1)^{3/2}, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora montamos a velocidade escalar (módulo da velocidade):
Como t+1 é positivo em [0,4], temos v(t)=t+1.
Passo 4
Por fim, integramos v(t) de 0 a 4:
Resposta
12