Usando o Teorema Fundamenta do Cálculo, demostre a identidade abaixo:
\frac{d}{d x} \int_{x-1}^{x^{2}} \frac{e^{t}}{t} d t=\frac{2 e^{x^{2}}(x-1)-e^{x-1} x}{x(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da integral
\int_{x-1}^{x^{2}} \frac{e^{t}}{t}\,dt.
Informações dadas que vamos usar:
\text{integrando: } f(t)=\frac{e^{t}}{t},
\text{limite inferior dependente de } x: a(x)=x-1,
\text{limite superior dependente de } x: b(x)=x^{2}.
A pergunta é: calcular \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x-1}^{x^{2}} \dfrac{e^{t}}{t}\,dt.

Passo 2

Vamos definir a função cujo derivada queremos. Seja
F(x)=\int_{x-1}^{x^{2}} \frac{e^{t}}{t}\,dt.
Nota rápida sobre domínio: a integranda \dfrac{e^{t}}{t} é indefinida em t=0. Para que tudo faça sentido sem tratar singuralidades, assumimos valores de x tais que o intervalo [x-1,x^{2}] (ou [x^{2},x-1] se trocar de ordem) não contenha t=0. Depois veremos a derivação formal que vale onde a integral está bem definida.

Passo 3

Vou lembrar o teorema e a regra que vamos usar (explicando com calma).
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) diz: se f é contínua numa vizinhança de um ponto, e definimos
G(u)=\int_{c}^{u} f(t)\,dt,
então
G'(u)=f(u).
Aqui u é a variável de integração superior; c é uma constante qualquer; e G'(u) significa derivada de G em relação a u. Exemplo simples: se G(u)=\int_{0}^{u}\sin t\,dt, então G'(u)=\sin u.

Passo 4

Nossa integral tem ambos os limites dependentes de x. Uma técnica padrão é escrever F(x) em termos de uma primitiva G. Definindo G(u)=\displaystyle\int_{c}^{u}\frac{e^{t}}{t}\,dt (qualquer c fixo onde a integral faça sentido), temos
F(x)=G\big(b(x)\big)-G\big(a(x)\big),
ou seja,
F(x)=G\big(x^{2}\big)-G\big(x-1\big).

Passo 5

Agora diferenciamos F(x) usando a regra da cadeia (derivada de composição) aplicada a cada termo. A regra da cadeia diz que se H(x)=G(h(x)) então H'(x)=G'(h(x))\cdot h'(x). Aplicando isso:
F'(x)=\frac{d}{dx}G\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}G\big(x-1\big) =G'\big(x^{2}\big)\cdot (x^{2})' - G'\big(x-1\big)\cdot (x-1)'.

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos G'(u)=f(u)=\dfrac{e^{u}}{u}. Substituindo e usando (x^{2})'=2x e (x-1)'=1, obtemos
F'(x)=\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\cdot 2x \;-\; \frac{e^{\,x-1}}{x-1}\cdot 1.

Passo 7

Agora simplificamos cada termo. O primeiro termo é
\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}\cdot 2x = \frac{2x\,e^{x^{2}}}{x^{2}} = \frac{2\,e^{x^{2}}}{x}.
Portanto
F'(x)=\frac{2\,e^{x^{2}}}{x} - \frac{e^{\,x-1}}{x-1}.

Passo 8

Colocamos em um único quociente com denominador comum x(x-1). Transformando cada fração:
\frac{2\,e^{x^{2}}}{x} = \frac{2\,e^{x^{2}}(x-1)}{x(x-1)}, \qquad \frac{e^{\,x-1}}{x-1} = \frac{e^{\,x-1}x}{x(x-1)}.
Subtraindo,
F'(x)=\frac{2\,e^{x^{2}}(x-1) - e^{\,x-1}x}{x(x-1)}.

Passo 9

Portanto chegamos exatamente à identidade pedida:
\frac{d}{dx}\int_{x-1}^{x^{2}} \frac{e^{t}}{t}\,dt = \frac{2\,e^{x^{2}}(x-1) - e^{\,x-1}x}{x(x-1)}.
Lembrando novamente: essa expressão vale para valores de x onde a integral inicial está bem definida (evitando t=0 no intervalo de integração e evitandos denominadores nulos em x ou x-1).

Resposta

\displaystyle \frac{2 e^{x^{2}}(x-1)-e^{x-1} x}{x(x-1)}

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