Usando o Teorema Fundamenta do Cálculo, demostre a identidade abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da integral
Informações dadas que vamos usar:
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Vamos definir a função cujo derivada queremos. Seja
Nota rápida sobre domínio: a integranda
é indefinida em
. Para que tudo faça sentido sem tratar singuralidades, assumimos valores de
tais que o intervalo
(ou
se trocar de ordem) não contenha
. Depois veremos a derivação formal que vale onde a integral está bem definida.
Passo 3
Vou lembrar o teorema e a regra que vamos usar (explicando com calma).
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) diz: se é contínua numa vizinhança de um ponto, e definimos
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) diz: se
então
Aqui
é a variável de integração superior;
é uma constante qualquer; e
significa derivada de
em relação a
. Exemplo simples: se
, então
.
Passo 4
Nossa integral tem ambos os limites dependentes de
. Uma técnica padrão é escrever
em termos de uma primitiva
. Definindo
(qualquer
fixo onde a integral faça sentido), temos
ou seja,
Passo 5
Agora diferenciamos
usando a regra da cadeia (derivada de composição) aplicada a cada termo. A regra da cadeia diz que se
então
. Aplicando isso:
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
. Substituindo e usando
e
, obtemos
Passo 7
Agora simplificamos cada termo. O primeiro termo é
Portanto
Passo 8
Colocamos em um único quociente com denominador comum
. Transformando cada fração:
Subtraindo,
Passo 9
Portanto chegamos exatamente à identidade pedida:
Lembrando novamente: essa expressão vale para valores de
onde a integral inicial está bem definida (evitando
no intervalo de integração e evitandos denominadores nulos em
ou
).