Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, sem calcular a integral, se o valor de
será positivo, negativo ou zero. Informações dadas e relevantes:
é a função integranda e o intervalo de integração é
, que tem comprimento
. Não há mais informações a obter do enunciado.
Passo 2
Fato importante sobre a função exponencial: para todo número real
vale
Isto é uma propriedade básica da função exponencial:
e, por continuidade e comportamento da função,
nunca muda de sinal e nunca é zero, ficando sempre estritamente positiva. Portanto, para qualquer
temos
.
Passo 3
Agora restrinjo essa propriedade ao intervalo dado. Se
então
. Logo, para todo
vale
Note que escrevi
porque
pode assumir valores maiores (até
), mas o menor valor que atinge no intervalo é
, que é estritamente positivo.
Passo 4
Usando uma desigualdade simples para integrais: se
para todo
com
, então
Aplicando isso ao caso
,
,
,
, obtemos
Como
, segue que a integral é estritamente positiva.
Passo 5
Resumo intuitivo: a função
é sempre positiva no intervalo considerado, e a integral representa a “área sob a curva” que, sendo área sobre o eixo
de uma função positiva em um intervalo de comprimento positivo, resulta em um número positivo. Coragem — essa conclusão é direta e não exige calcular a integral exata.
Resposta
positivo