Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
\int_{-5}^{-1} e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique, sem calcular a integral, se o valor de
\int_{-5}^{-1} e^{-x}\,dx
será positivo, negativo ou zero. Informações dadas e relevantes: \;e^{-x} é a função integranda e o intervalo de integração é [-5,-1], que tem comprimento -1-(-5)=4. Não há mais informações a obter do enunciado.

Passo 2

Fato importante sobre a função exponencial: para todo número real t vale
e^{t}>0.
Isto é uma propriedade básica da função exponencial: e^{0}=1 e, por continuidade e comportamento da função, e^{t} nunca muda de sinal e nunca é zero, ficando sempre estritamente positiva. Portanto, para qualquer x\in\mathbb{R} temos e^{-x}>0.

Passo 3

Agora restrinjo essa propriedade ao intervalo dado. Se x\in[-5,-1] então -x\in[1,5]. Logo, para todo x\in[-5,-1] vale
e^{-x}\ge e^{1}.
Note que escrevi "\ge" porque e^{-x} pode assumir valores maiores (até e^{5}), mas o menor valor que atinge no intervalo é e^{1}, que é estritamente positivo.

Passo 4

Usando uma desigualdade simples para integrais: se f(x)\ge m para todo x\in[a,b] com m>0, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge \int_{a}^{b} m\,dx = m(b-a).
Aplicando isso ao caso f(x)=e^{-x}, m=e^{1}, a=-5, b=-1, obtemos
\int_{-5}^{-1} e^{-x}\,dx \ge e^{1}\cdot\bigl(-1-(-5)\bigr)=e^{1}\cdot 4.
Como e^{1}\cdot 4>0, segue que a integral é estritamente positiva.

Passo 5

Resumo intuitivo: a função e^{-x} é sempre positiva no intervalo considerado, e a integral representa a “área sob a curva” que, sendo área sobre o eixo x de uma função positiva em um intervalo de comprimento positivo, resulta em um número positivo. Coragem — essa conclusão é direta e não exige calcular a integral exata.

Resposta

positivo

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