Usando o teorema de L’Hôspital, calcule o limite
\lim _{x \longrightarrow 1} \frac{\ln (x)}{\operatorname{sen}(\pi x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{\operatorname{sen}(\pi x)}
usando o Teorema de L’Hôspital. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada 0/0 e aplicação de derivadas para resolver essa indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=1: \ln(1)=0 e \operatorname{sen}(\pi\cdot1)=\operatorname{sen}(\pi)=0.
Como é 0/0, podemos aplicar o Teorema de L’Hôspital, que diz que
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{\operatorname{sen}(\pi x)} = \lim_{x\to1}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(\pi x)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(\pi x)=\pi\cos(\pi x).
Logo o limite vira
\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{\pi\cos(\pi x)} =\lim_{x\to1}\frac{1}{\pi\,x\cos(\pi x)}.

Passo 4

Agora substituímos x=1: \cos(\pi)=-1, então
\lim_{x\to1}\frac{1}{\pi\,x\cos(\pi x)} =\frac{1}{\pi\cdot1\cdot(-1)} =-\frac{1}{\pi}.

Resposta

-\frac{1}{\pi}

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