Faça um estudo de
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é crescente e decrescente; ache onde as regiões onde concavidade é para cima e para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo de
determinando domínio, extremos relativos, monotonicidade, pontos de inflexão, concavidade e fazendo um esboço do gráfico. Para isso vamos usar derivadas de primeira ordem (para monotonicidade e extremos) e segunda ordem (para concavidade e inflexão), além de identificar assíntotas.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é todo número real, exceto onde o denominador se anula, isto é:
Passo 3
Em seguida, procuramos assíntotas.
- Assíntota vertical em
, pois quando . - Para
, escrevemos
logo
. Assim, há assíntota horizontal
.
Passo 4
Agora calculamos a derivada de primeira ordem:
Note que
nunca se anula em seu domínio, mas é sempre negativo.
Passo 5
Como
para todo
, a função é estritamente decrescente em cada intervalo de seu domínio, ou seja em
e em
. Não existem pontos críticos onde
, portanto não há extremos relativos.
Passo 6
Calculamos a derivada de segunda ordem:
Passo 7
A concavidade vem do sinal de
:
- Se
, então e , logo é côncava para cima em . - Se
, então e , logo é côncava para baixo em .
Não há ponto de inflexão porque não existeno domínio onde .
Passo 8
Esboço do gráfico:
- Dois ramos hiperbólicos, separados por
. - Cada ramo decrescente.
- Assíntota vertical
e horizontal . - Para
, o ramo fica abaixo de e é côncavo para baixo; para , o ramo fica acima de e é côncavo para cima.
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical , horizontal
Monotonicidade: decrescente em e em
Extremos relativos: nenhum
Concavidade: para baixo em , para cima em
Ponto de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos hiperbólicos decrescentes, com e
como assíntotas.
Assíntotas: vertical
Monotonicidade: decrescente em
Extremos relativos: nenhum
Concavidade: para baixo em
Ponto de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos hiperbólicos decrescentes, com