Faça um estudo de f(x) determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é crescente e decrescente; ache onde as regiões onde concavidade é para cima e para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x)=\frac{x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo de
f(x)=\frac{x}{x-1}
determinando domínio, extremos relativos, monotonicidade, pontos de inflexão, concavidade e fazendo um esboço do gráfico. Para isso vamos usar derivadas de primeira ordem (para monotonicidade e extremos) e segunda ordem (para concavidade e inflexão), além de identificar assíntotas.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é todo número real, exceto onde o denominador se anula, isto é:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Em seguida, procuramos assíntotas.
  1. Assíntota vertical em x=1, pois f(x)\to\pm\infty quando x\to1^\pm.
  2. Para x\to\pm\infty, escrevemos
f(x)=\frac{x}{x-1} =\frac{x-1+1}{x-1} =1+\frac{1}{x-1},
logo \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1. Assim, há assíntota horizontal y=1.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de primeira ordem:
f'(x) =\frac{(x-1)\cdot1 - x\cdot1}{(x-1)^2} =\frac{x-1-x}{(x-1)^2} =-\frac{1}{(x-1)^2}.
Note que f'(x) nunca se anula em seu domínio, mas é sempre negativo.

Passo 5

Como f'(x)<0 para todo x\neq1, a função é estritamente decrescente em cada intervalo de seu domínio, ou seja em (-\infty,1) e em (1,\infty). Não existem pontos críticos onde f'(x)=0, portanto não há extremos relativos.

Passo 6

Calculamos a derivada de segunda ordem:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(- (x-1)^{-2}\bigr) =-1\cdot(-2)(x-1)^{-3} =\frac{2}{(x-1)^3}.

Passo 7

A concavidade vem do sinal de f''(x):
  • Se x>1, então (x-1)^3>0 e f''(x)>0, logo f é côncava para cima em (1,\infty).
  • Se x<1, então (x-1)^3<0 e f''(x)<0, logo f é côncava para baixo em (-\infty,1).
    Não há ponto de inflexão porque não existe x no domínio onde f''(x)=0.

Passo 8

Esboço do gráfico:
  • Dois ramos hiperbólicos, separados por x=1.
  • Cada ramo decrescente.
  • Assíntota vertical x=1 e horizontal y=1.
  • Para x<1, o ramo fica abaixo de y=1 e é côncavo para baixo; para x>1, o ramo fica acima de y=1 e é côncavo para cima.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1\}
Assíntotas: vertical x=1, horizontal y=1
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,1) e em (1,\infty)
Extremos relativos: nenhum
Concavidade: para baixo em (-\infty,1), para cima em (1,\infty)
Ponto de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos hiperbólicos decrescentes, com x=1 e y=1 como assíntotas.

Exercícios relacionados