Mostre o resultado
Passo 1
O que o problema pede e o que temos dado.
- Pede-se calcular a integral impropria
para o parâmetro
no intervalo
.
-
Informação importante:
. Isso garante que a integral converge nas extremidades (vou explicar por quê durante a solução). -
Meta final: mostrar que o valor dessa integral é
Passo 2
Escolha do método e estratégia geral (sem resolver ainda).
- Vou usar a função Beta e a relação Beta–Gamma porque esse caminho é direto e usa apenas integrais reais e mudanças de variável elementares; evita o uso de análise complexa (que também é possível).
- Plano: mostrar que a integral é uma forma da função Beta, depois usar a identidade Beta–Gamma e, finalmente, a fórmula de reflexão de Euler para a função Gamma para obter o resultado em termos de
.
Passo 3
Definição da função Beta e representação útil.
- Definição padrão da função Beta: para
e ,
- Outra representação útil (que vamos obter por uma mudança de variável) é
Vou demonstrar essa segunda representação passo a passo.
Demonstração da representação alternativa:
- Faça a mudança de variável
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Calculando o diferencial:
- Substituindo em
:
Agrupando as potências de
:
Isso prova a representação alternativa.
Passo 4
Relacionando nossa integral com a função Beta.
- Observe a integral pedida:
- Reescrevendo
, a integral fica
- Comparando com a representação
vemos que basta escolher
pois
e
exatamente quando
. Assim
Passo 5
Definição da função Gamma e a identidade Beta–Gamma.
- Definição da função Gamma (Euler): para
,
- Identidade Beta–Gamma (fórmula clássica): para
e ,
Vou dar a prova curta dessa identidade porque é útil e não é longa.
Prova de
:
- Comece com o produto das duas integrais definindo
:
- Faça a mudança de variáveis
com e . O jacobiano é , pois . - Substituindo:
Reorganizando potências de
:
- Reconhecendo as definições:
- Rearranjando:
Prova concluída.
Passo 6
Aplicando Beta–Gamma ao nosso caso.
- Já temos
- Usando
com e ,
- Como
, obtemos
Passo 7
Fórmula de reflexão de Euler e conclusão final.
- A identidade conhecida (fórmula de reflexão de Euler) diz que, para
não inteiro e em particular para ,
Esta é uma fórmula clássica da teoria da função Gamma; existem várias provas (uma via produto infinito de Euler, outra via análise complexa e o teorema dos resíduos). Vou aceitar esta fórmula como conhecida aqui (é um resultado padrão que aparece em cursos sobre funções especiais). Aplicando com
(e lembrando
), obtemos
- Combinando com o resultado do Passo 6,