Usando o teorema dos resíduos, obtenha os resultados
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e os dados que temos.
- Pede-se calcular a integral imprópria
para o caso
. Aqui
e
são constantes reais, supõe-se
(caso usual) e a integral é entendida como valor principal de Cauchy quando necessário (há polo em
).
- Informações relevantes do enunciado:
- A função integranda tem polos simples em
, e . - Como
, ao usar integrais de contorno com o fator convém fechar o contorno no semiplano inferior (onde a exponencial decai sobre o arco grande, pela versão adequada do lema de Jordan). - Será usado o Teorema dos Resíduos para avaliar as integrais dos contornos e obter a integral real.
- A função integranda tem polos simples em
Passo 2
Estratégia prática (sem pular etapas): primeiro fazemos uma decomposição em frações simples que facilita separar a integral em duas integrais mais simples, cada uma das quais pode ser avaliada por transformadas de Fourier conhecidas ou diretamente por resíduos.
Fazemos a decomposição
Verificação rápida: escrevendo o lado direito sobre o mesmo denominador,
ou seja, está correto.
Assim a integral se separa:
Denotemos
então
. Vou calcular
e
separadamente usando argumentos por contorno / resíduos, explicando bem cada passo.
Passo 3
Cálculo de
.
- Comentário didático: essa integral tem um polo simples em
(sobre o eixo real), logo precisa ser entendida como valor principal de Cauchy. O resultado padrão (obtido por fechar o contorno no semiplano superior se ou no semiplano inferior se e tratando a semi-circunferência pequena que evita o polo) é
onde
é a função sinal. Esta identidade é obtida aplicando o Teorema dos Resíduos a um contorno que evita o polo em
por cima ou por baixo dependendo do sinal de
(explicação resumida: para
fecha-se abaixo, a integral sobre o arco grande tende a zero e a meia-volta pequena dá contribuição que resulta em
).
- Como no enunciado
, temos . Portanto
Passo 4
Cálculo de
por resíduo (ou via derivada da transformada conhecida).
Vou primeiro dar uma pequena lição útil: a transformada conhecida
é clássica e pode ser obtida por resíduos fechando no semiplano superior para
e no inferior para
. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Logo
- Calculando
:
Portanto
- Agora aplique
. Então e , logo
(Essa expressão coincide com o cálculo direto por resíduos: ao fechar no semiplano inferior o único polo dentro é
e a contribuição de resíduo dá exatamente
.)
Passo 5
Juntando
e
para obter
.
Recapitulando,
Então
Fatorando,