Usando o teorema de Stokes, calcule
onde
é a curva obtida pela interseção do plano
com o prisma de equação
(superfície cilíndrica que tem como base no plano
o quadrado de vértices
e
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é a curva fechada obtida pela interseção do plano
com o prisma vertical definido por
. Informações importantes dadas:
- O integrando define o campo vetorial
com
- A curva
é a fronteira (fechada) da região planar onde o plano corta o prisma; a projeção dessa região no plano é o losango (diamante) dado por
cuja fronteira é
com vértices
.
- A orientação pedida é anti-horária quando vista de cima (isto é, no sentido positivo em relação ao eixo
).
Passo 2
Vamos aplicar o Teorema de Stokes. Primeiro, lembro o enunciado do teorema (numa forma útil aqui): se
é uma superfície orientada com fronteira
e
é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas, então
onde
é o rotacional (curl) de
e
é o versor normal a
compatível com a orientação de
. Aqui podemos escolher
como a parte do plano
que está dentro do prisma; sua fronteira é exatamente
. A orientação “anti-horária vista de cima” corresponde a escolher o normal com componente
positiva (normal apontando para cima).
Passo 3
Calculo do rotacional
. Usando a definição em coordenadas:
Agora calculamos as derivadas parciais (cada uma explicitamente):
Substituindo:
Ou seja, o rotacional é um vetor puramente na direção
.
Passo 4
Parametrização/descrição da superfície
e escolha do elemento de área orientado. A parte do plano pode ser escrita como gráfico
definida sobre o domínio
no plano
. Para uma superfície dada por
com normal apontando para cima, uma fórmula conveniente é:
onde
,
e
é o elemento de área no plano
. Aqui
portanto
(Isto significa que o vetor
tem a direção do normal apontando para cima multiplicado pelo elemento de área planar.)
Passo 5
Avalio o produto escalar
. Como
, temos
Portanto, pelo Teorema de Stokes,
onde
.
Passo 6
Agora calculamos a integral dupla sobre o domínio
. Note que a expressão integranda separa em duas integrais:
Mas o domínio
é simétrico em relação à troca das coordenadas
e
: trocar
por
transforma
em si mesmo. Se eu fizer a troca de variáveis
na segunda integral, obtenho exatamente a primeira integral. Portanto
Assim as duas integrais se cancelam quando subtraídas.
Passo 7
Conclusão: a integral de linha pedida é zero, pois a diferença das duas integrais idênticas é nula:
Resposta
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