Considere o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=(6 x+5 y, 5 x+4 y)
(a) Verifique que \mathbf{F} é campo conservativo;
(b) Encontre uma função f tal que \nabla \mathrm{f}=\mathbf{F};
(c) Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} ao mover uma partícula sobre a curva
C: \mathbf{r}(t)=\left(t e^{t-1}, 2 t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = (6x+5y,\;5x+4y)
e pede três coisas:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
  2. Encontrar uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F}.
  3. Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo da curva
C:\\ \mathbf{r}(t)=\big(t e^{t-1},\;2t^{2}\big),\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes dadas que eu vou usar explicitamente: as componentes de \mathbf{F} são P(x,y)=6x+5y e Q(x,y)=5x+4y; a curva paramétrica \mathbf{r}(t) com t variando de 0 a 1.

Passo 2

Como verificar se um campo vetorial planar é conservativo (explicação didática e passo a passo).
  • Em duas dimensões, para um campo \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) definido em uma região sem “buracos” (ou seja, em uma região simplesmente conexa, como \mathbb{R}^2), uma condição prática e muito usada é comparar as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se essas duas derivadas parciais forem iguais em toda a região, então \mathbf{F} é conservativo (isto é, existe uma função potencial f com \nabla f=\mathbf{F}).
  • Aqui temos P(x,y)=6x+5y e Q(x,y)=5x+4y. Vamos calcular as derivadas parciais:
Calcule \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}(6x+5y)=5.
Calcule \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}(5x+4y)=5.
  • Como \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=5=\frac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y) e o campo é polinomial (está definido em toda \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexa), concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Encontrar a função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F} (método passo a passo e explicação didática).
  • Se \nabla f=(f_x,f_y)=\mathbf{F}=(P,Q), então precisamos achar f com
f_x(x,y)=P(x,y)=6x+5y\quad\text{e}\quad f_y(x,y)=Q(x,y)=5x+4y.
  • Uma técnica padrão: integrar f_x em relação a x e depois determinar a parte que depende só de y.
Integro f_x=6x+5y em relação a x:
f(x,y)=\int (6x+5y)\,dx = 3x^{2}+5xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informações sobre dependência só em y).
  • Agora uso que f_y deve ser igual a Q(x,y). Calculo f_y a partir da expressão obtida:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}+5xy + h(y)\big)=5x + h'(y).
Mas sabemos que f_y(x,y) tem que ser Q(x,y)=5x+4y. Igualando:
5x + h'(y) = 5x + 4y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=4y.
  • Integro h'(y)=4y em relação a y:
h(y)=\int 4y\,dy = 2y^{2} + C,
onde C é constante real (qualquer constante somada à função potencial não altera o gradiente).
  • Portanto uma função f que funciona é
f(x,y)=3x^{2}+5xy+2y^{2} + C.
Para simplicidade, podemos escolher C=0. Então
f(x,y)=3x^{2}+5xy+2y^{2}.
Breve comentário didático: \nabla f=(f_x,f_y)=(6x+5y,5x+4y)=\mathbf{F}, então conferimos que está correto.

Passo 4

Calcular o trabalho ao longo da curva C usando o teorema fundamental para campos conservativos (explicação e aplicação).
  • Teorema fundamental (intuição e fórmula): se \mathbf{F}=\nabla f e \mathbf{r}(t) é uma curva com t de a até b, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt = f\big(\mathbf{r}(b)\big)-f\big(\mathbf{r}(a)\big).
Isso ocorre porque \dfrac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t), então integrar em t dá a diferença de f nas extremidades. É muito prático porque evita integrar componentes complicadas.
  • Aqui a curva tem \mathbf{r}(t)=\big(t e^{t-1},\;2t^{2}\big) com t\in[0,1]. As extremidades são:
\mathbf{r}(0)=\big(0\cdot e^{-1},\;0\big)=(0,0),
\mathbf{r}(1)=\big(1\cdot e^{0},\;2\cdot 1^{2}\big)=(1,2).
  • Já encontramos f(x,y)=3x^{2}+5xy+2y^{2}. Avalio f nessas duas extremidades:
Calcule f\big(\mathbf{r}(1)\big)=f(1,2):
f(1,2)=3\cdot 1^{2} + 5\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 2^{2} = 3 + 10 + 8 = 21.
Calcule f\big(\mathbf{r}(0)\big)=f(0,0):
f(0,0)=3\cdot 0^{2} + 5\cdot 0\cdot 0 + 2\cdot 0^{2}=0.
  • Pelo teorema:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\big(\mathbf{r}(1)\big)-f\big(\mathbf{r}(0)\big)=21-0=21.
Dica prática para a prova: sempre que conseguir reconhecer \mathbf{F}=\nabla f, use essa diferença de potenciais — economiza tempo e evita integrais paramétricas longas.

Resposta

(a) Sim, \mathbf{F} é conservativo.
(b) f(x,y)=3x^{2}+5xy+2y^{2}.
(c) Trabalho =\;21.

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