Considere o campo vetorial
(a) Verifique que
é campo conservativo;
(b) Encontre uma função f tal que
;
(c) Encontre o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula sobre a curva
(b) Encontre uma função f tal que
(c) Encontre o trabalho realizado pela força
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede três coisas:
- Verificar se
é conservativo. - Encontrar uma função
tal que . - Calcular o trabalho realizado por
ao mover uma partícula ao longo da curva
Informações relevantes dadas que eu vou usar explicitamente: as componentes de
são
e
; a curva paramétrica
com
variando de
a
.
Passo 2
Como verificar se um campo vetorial planar é conservativo (explicação didática e passo a passo).
- Em duas dimensões, para um campo
definido em uma região sem “buracos” (ou seja, em uma região simplesmente conexa, como ), uma condição prática e muito usada é comparar as derivadas parciais mistas:
Se essas duas derivadas parciais forem iguais em toda a região, então
é conservativo (isto é, existe uma função potencial
com
).
- Aqui temos
e . Vamos calcular as derivadas parciais:
Calcule
:
Calcule
:
- Como
para todo e o campo é polinomial (está definido em toda , que é simplesmente conexa), concluímos que é conservativo.
Passo 3
Encontrar a função potencial
tal que
(método passo a passo e explicação didática).
- Se
, então precisamos achar com
- Uma técnica padrão: integrar
em relação a e depois determinar a parte que depende só de .
Integro
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informações sobre dependência só em
).
- Agora uso que
deve ser igual a . Calculo a partir da expressão obtida:
Mas sabemos que
tem que ser
. Igualando:
- Integro
em relação a :
onde
é constante real (qualquer constante somada à função potencial não altera o gradiente).
- Portanto uma função
que funciona é
Para simplicidade, podemos escolher
. Então
Breve comentário didático:
, então conferimos que está correto.
Passo 4
Calcular o trabalho ao longo da curva
usando o teorema fundamental para campos conservativos (explicação e aplicação).
- Teorema fundamental (intuição e fórmula): se
e é uma curva com de até , então
Isso ocorre porque
, então integrar em
dá a diferença de
nas extremidades. É muito prático porque evita integrar componentes complicadas.
- Aqui a curva tem
com . As extremidades são:
- Já encontramos
. Avalio nessas duas extremidades:
Calcule
:
Calcule
:
- Pelo teorema:
Dica prática para a prova: sempre que conseguir reconhecer
, use essa diferença de potenciais — economiza tempo e evita integrais paramétricas longas.
Resposta
(a) Sim,
é conservativo.
(b) .
(c) Trabalho .
(b)
(c) Trabalho