(a) Usando a terceira lei de Kepler (Eq. 15-34), expresse a constante gravitacional G usando a unidade astronômica, AU, como unidade de comprimento, massa solar, M_{, \text {como unidade de massa, e o ano }} como unidade de tempo. (Uma unidade astronômica =1 \mathrm{AU}=1,496 \times 10^{11} \mathrm{~m}. A massa solar =1 M_{5}=1,99 \times 10^{30} \mathrm{~kg}. Um ano =1 \mathrm{a}=3,156 \times 10^{7} \mathrm{~s}.) (b) Qual a forma da terceira lei de Kepler, se usarmos essas unidades?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Dados numéricos fornecidos:
    • 1\\ \mathrm{AU} = 1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • 1\\ M_{\odot} = 1,99\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
    • 1\\ \mathrm{a} = 3,156\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Expressar a constante gravitacional G usando como unidades: comprimento = \mathrm{AU}, massa = M_{\odot} e tempo = \mathrm{a} (ano).
    • (b) Escrever a forma da terceira lei de Kepler quando usamos essas unidades.

Passo 2

Apresentando a forma geral da terceira lei de Kepler (na forma Newtoniana) e explicando cada símbolo.
P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G\,(M+m)}\,a^{3}.
Explicação das variáveis:
  • P é o período orbital (tempo) da órbita (unidade aqui: tempo).
  • a é o semieixo maior da órbita (unidade aqui: comprimento).
  • M é a massa do corpo central (por ex. o Sol).
  • m é a massa do corpo orbitante (por ex. um planeta).
  • G é a constante gravitacional universal que queremos expressar em novas unidades.
    Essa fórmula vem da combinação da força gravitacional newtoniana com a segunda lei de Newton para um movimento circular/elíptico médio.

Passo 3

Isolando G na expressão da terceira lei (arranjamento algébrico) e explicando passo a passo.
A partir de
P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G\,(M+m)}\,a^{3},
multiplicando ambos os lados por G(M+m) e dividindo por P^{2}, obtemos
G=\frac{4\pi^{2}\,a^{3}}{P^{2}\,(M+m)}.
Aqui está a forma geral para G em qualquer sistema de unidades: inserir a, P, M+m nas unidades escolhidas dará o valor numérico correspondente de G nessa unidade.

Passo 4

Escolhendo as unidades pedidas ( \mathrm{AU}, M_{\odot}, \mathrm{a}) e usando um caso de referência para obter a expressão simples.
Se medirmos a em \mathrm{AU}, P em \mathrm{a} e as massas em M_{\odot}, então podemos avaliar G usando um sistema de referência conveniente: a órbita média da Terra em torno do Sol tem aproximadamente a=1\\ \mathrm{AU}, P=1\\ \mathrm{a} e o Sol tem M=1\\ M_{\odot}. Para planetas pequenos, m é desprezível então M+m\approx M. Substituindo esses valores na fórmula isolada:
G=\frac{4\pi^{2}\,(1\\ \mathrm{AU})^{3}}{(1\\ \mathrm{a})^{2}\,(1\\ M_{\odot})}.
Logo, simbolicamente em unidades \mathrm{AU}^{3}M_{\odot}^{-1}\mathrm{a}^{-2},
G=4\pi^{2}.
Isto significa que o número que representa G nessa escolha de unidades é simplesmente 4\pi^{2}, e as unidades correspondentes são \mathrm{AU}^{3}\,M_{\odot}^{-1}\,\mathrm{a}^{-2}.

Passo 5

Calculemos o valor numérico aproximado de 4\pi^{2} mostrando o cálculo passo a passo.
  • Primeiro \pi\approx3,14159265.
  • Então \pi^{2}\approx3,14159265^{2}\approx9,8696044.
  • Multiplicando por 4:
4\pi^{2}\approx4\times9,8696044\approx39,4784176.
Portanto o valor numérico de G na unidade pedida é aproximadamente 39,4784176 com as unidades \mathrm{AU}^{3}\,M_{\odot}^{-1}\,\mathrm{a}^{-2}. (Arredondando, G\approx39,48 nessas unidades.)

Passo 6

Interpretação e forma final da terceira lei nessa escolha de unidades.
Substituindo G=4\pi^{2} na expressão original
P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G\,(M+m)}\,a^{3},
obtém-se, em unidades \mathrm{AU},\,M_{\odot},\,\mathrm{a},
P^{2}=\frac{a^{3}}{M+m},
ou, quando a massa orbital m for desprezível em comparação com M,
P^{2}=\frac{a^{3}}{M}.
Observações úteis para prova: se além disso M=1\\ M_{\odot} (por ex. órbitas ao redor do Sol), a relação simplifica ainda mais para a forma muito usada em astronomia
P^{2}=a^{3}.
Essa última forma é válida quando P está medido em anos, a em AU e a massa central é exatamente 1\\ M_{\odot}.

Resposta

(a) G=4\pi^{2}\\ \mathrm{AU}^{3}\,M_{\odot}^{-1}\,\mathrm{a}^{-2}\approx39,4784176\\ \mathrm{AU}^{3}\,M_{\odot}^{-1}\,\mathrm{a}^{-2}\n
(b) P^{2}=\dfrac{a^{3}}{M+m} (em \mathrm{AU},\,M_{\odot},\,\mathrm{a}); se m desprezível então P^{2}=\dfrac{a^{3}}{M} e, para M=1\\ M_{\odot}, P^{2}=a^{3}.

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