(a) Usando a terceira lei de Kepler (Eq. 15-34), expresse a constante gravitacional
usando a unidade astronômica, AU, como unidade de comprimento, massa solar,
como unidade de tempo. (Uma unidade astronômica
. A massa solar
. Um ano
.) (b) Qual a forma da terceira lei de Kepler, se usarmos essas unidades?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Dados numéricos fornecidos:
-
. -
. -
.
-
- O enunciado pede:
- (a) Expressar a constante gravitacional
usando como unidades: comprimento = , massa = e tempo = (ano). - (b) Escrever a forma da terceira lei de Kepler quando usamos essas unidades.
- (a) Expressar a constante gravitacional
Passo 2
Apresentando a forma geral da terceira lei de Kepler (na forma Newtoniana) e explicando cada símbolo.
Explicação das variáveis:
-
é o período orbital (tempo) da órbita (unidade aqui: tempo). -
é o semieixo maior da órbita (unidade aqui: comprimento). -
é a massa do corpo central (por ex. o Sol). -
é a massa do corpo orbitante (por ex. um planeta). -
é a constante gravitacional universal que queremos expressar em novas unidades.
Essa fórmula vem da combinação da força gravitacional newtoniana com a segunda lei de Newton para um movimento circular/elíptico médio.
Passo 3
Isolando
na expressão da terceira lei (arranjamento algébrico) e explicando passo a passo.
A partir de
A partir de
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, obtemos
Aqui está a forma geral para
em qualquer sistema de unidades: inserir
,
,
nas unidades escolhidas dará o valor numérico correspondente de
nessa unidade.
Passo 4
Escolhendo as unidades pedidas (
,
,
) e usando um caso de referência para obter a expressão simples.
Se medirmos em
,
em
e as massas em
, então podemos avaliar
usando um sistema de referência conveniente: a órbita média da Terra em torno do Sol tem aproximadamente
,
e o Sol tem
. Para planetas pequenos,
é desprezível então
. Substituindo esses valores na fórmula isolada:
Se medirmos
Logo, simbolicamente em unidades
,
Isto significa que o número que representa
nessa escolha de unidades é simplesmente
, e as unidades correspondentes são
.
Passo 5
Calculemos o valor numérico aproximado de
mostrando o cálculo passo a passo.
- Primeiro
. - Então
. - Multiplicando por
:
Portanto o valor numérico de
na unidade pedida é aproximadamente
com as unidades
. (Arredondando,
nessas unidades.)
Passo 6
Interpretação e forma final da terceira lei nessa escolha de unidades.
Substituindo na expressão original
Substituindo
obtém-se, em unidades
,
ou, quando a massa orbital
for desprezível em comparação com
,
Observações úteis para prova: se além disso
(por ex. órbitas ao redor do Sol), a relação simplifica ainda mais para a forma muito usada em astronomia
Essa última forma é válida quando
está medido em anos,
em AU e a massa central é exatamente
.
Resposta
(a)
\n
(b) (em
); se
desprezível então
e, para
,
.
(b)