Usando o terema de Green calcular a integral de linha
sendo
a fronteira positivamente orientada da região
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é a fronteira, orientada positivamente, da região
Informações dadas e o que é pedido:
- A forma diferencial tem
e . - A região
é um anel (região entre dois círculos de raios e ) limitado ao primeiro quadrante ( em coordenadas polares). - A orientação positiva da fronteira significa que
é percorrida no sentido anti-horário ao redor de . - Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha dada.
Passo 2
Aplicar a versão bidimensional de Green (explicação e condições).
- Teorema de Green (forma que vamos usar): se
e têm derivadas parciais contínuas numa região que contém e sua fronteira , então
Aqui:
-
e são as funções do integrando da integral de linha. -
significa derivada parcial de em relação a . -
significa derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área no plano.
A regiãoé regular e são polinômios (derivadas contínuas), então as hipóteses do teorema são satisfeitas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
.
- Escrevendo explicitamente:
- Derivadas:
Portanto
Assim, pela fórmula de Green:
Passo 4
Escolher coordenadas mais convenientes para avaliar
.
- A região
é definida por e . Em coordenadas polares com
a região corresponde a
- Lembrete sobre o elemento de área: em polares
. Isso vem do Jacobiano da mudança de variável; em palavras, um pequeno retângulo em tem área aproximada . - Substituindo
e e o :
e
Passo 5
Montar e calcular a integral dupla em polares.
- A integral fica
- Separar fatores que dependem só de
:
- Calcular a integral radial:
- Substituir:
Passo 6
Calcular a integral angular e concluir.
- Integral angular:
- Portanto
- Pelo teorema de Green, essa é exatamente o valor da integral de linha pedida.